Question

证明方程x³+x-3=0至少有一个正根？

Answer 1

f(x)=x³+x-3是连续函数。
f(0)=-3<0,f(2)=7>0,由连续函数的零点定理，知道f(x)在(0,2)存在零点，即方程有正根。
这个题目可以改成：方程x³+x-3=0只有唯一的一个根，且为正根。
证明；f'(x)=3x²+1>0,f(x)在(-∞,+∞)单调增加。
f(0)=-3<0,f(2)=7>0,故f(x)=0在(0,2)存在零点，即x³+x-3=0有正根。
再由函数的单调性，如果方程有根，则只能有一个。综合以上两个结论，得到方程有唯一的根，且此根为正根。