Question

如图 在rt△abc的面积为20平方厘米，在AB的同侧，分别以AB,BC,AC为直径做三个半圆，求阴影部分的面积

Answer 1

如图， 

Rt△ABC的面积为20cm²，在AB的同侧，分别以AB,BC,AC为直径做三个半圆，求阴影部分的面积。

解：S阴影=1/2·π(AC/2)²+1/2·π(BC/2)²+S△ABC-1/2·π(AB/2)²

                =πAC²/8+πBC²/8+S△ABC-πAB²/8                                   

                =π/8(AC²+BC²-AB²)+S△ABC

       ∵AC²+BC²=AB²

      ∴S阴影=S△ABC=20cm²

答：阴影部分的面积为20cm²。

Answer 2

S(阴影)=1/2*π*(1/2AC)^2+1/2*π(1/2BC)^2+S(三角形ABC)-1/2*π*(1/2AB)^2

            =1/8*π*(AC^2+BC^2-AB^2)+S(三角形ABC)

而AC^2+BC^2=AB^2,

所以S(阴影)=S(三角形ABC)=20

Answer 3

告诉你个简单的方法：一看这个题，应该会立马想到勾股定理，而且三个边都是未知的；在看所要求的面积，肯定是存在减法；每个圆的半径是对应边的一半，那么其中三个半圆的面积（未知）的表达式中必有相似的系数（π/8），且看图形是两个小圆面积的和减一个大圆面积，圆面积中必有平方项，再根据勾股定理，即可得零，又因为多减掉了一个三角形，再加上一个即可。综合上述，阴影面积是20平方厘米。你看懂了吗？根本不用动笔计算。

Answer 4

解：设AC=2x，BC=2y，则以AC为直径的半圆面积为 πx^2/2，
以BC为直径的半圆面积为 πy^2/2， AB=2(根号（x^2+y^2）)，
以AB为直径的半圆面积为 π(x^2+y^2)/2
故阴影部分的面积S=πx^2/2 + πy^2/2 - {π(x^2+y^2)/2-20} = 20
即阴影部分面积为 S=20 平方厘米

Answer 5

∵△ABC为直角三角形

∴AC²+BC²=AB²

∵S△ABC=20cm²

∴S阴影=1/2π×（1/2AC）²+1/2π×（1/2BC）²+S△ABC-1/2π×（1/2AB）²

=1/8π×（AC²+BC²-AB²）+S△ABC

=S△ABC=20cm²