Question

2010全国1数学(理)第20题答案

Answer 1

2010全国数I第20题
已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1
（Ⅰ）若xf’(x)<=x^2+ax+1，求 的取值范围；
（Ⅱ）证明：(x-1)f(x)>=0 .
(1)解析：∵f(x)=(x+1)lnx-x+1==> f’(x)=lnx+(x+1)/x -1
X*f’(x)=xlnx+1<=x^2+ax+1
x^2+ax-xlnx>=0==>a>=lnx-x
令h(x)=lnx-x==>h’(x)=1/x-1=0==>x=1
H”(x)=-1/x^2 H”(1)=-1<0,∴h(x)在x=1处取极大值h(1)=-1；
∴a>=-1
(2)证明：(x^2-1)lnx-x^2+2x-1
令h(x)= (x^2-1)lnx-x^2+2x-1
H’(x)=[(2x^2)lnx- (x-1)^2]/x
令(2x^2)lnx- (x-1)^2=0==>x=1
h(x)在x=1处取极小值h(1)=0
∴h(x)的值域为[0,+∞)
∴(x^2-1)lnx-x^2+2x-1>=0