Question

关于隐函数IN（1+x^2）求导 还有跟号求导的知识 求详细的解答 不太理解

尤其是隐函数 我知道求导里面有一个同时除以Y的 但是到隐函数就不太理解了 还有就是类似于IN（1+x^2）的求导 不太明白 还有比如 跟号下1+x^2的 求导 请您详细解答一下好么？

Answer 1

你的这句话看不懂：“我知道求导里面有一个同时除以Y的 但是到隐函数就不太理解了”。
你举的例子叫做复合函数;隐函数指的的类似x²+y²=25之类!
具体地，ln（1＋x²），总体是自然函数，但真数不是x。所以第一次要代（lnx）' 的公式，下一步继续对1＋x²求导。
（ln（1＋x²）’＝〔1/(1+x²)〕×（1＋x²）'=〔1/(1+x²)〕*2x=2x/(1+x²)
√(1+x^2)=(1+x²)^1/2 这里,总体形式是x^n的形式,但这里的底数不是x,而是一个式子.所以第一步要代(x^n)'的公式,但接着必须继续对1+x²求导.
[√(1+x^2)]'=(1+x^2)^(-1/2) *(1+x²)'=[1/√(1+x²)]*2x=2x/√(1+x²)

追问

问你个呆跟号的如何求导呢 还有就是为什么sinxy 在隐函数求导之后会有一个cosxy (y+xy')呢

追答

你问的仍然是复合函数求导问题.
对于sinxy 求导,我们先分析一下步骤.
1,在求导公式中,只有sinx,而题中是sinxy这就是复合函数.所以,第一步要按照公式(sinx)'来求导,(这里,先把xy当作公式中的x); 第二步,由于你是把xy当作"x"处理的,所以必须进一步乘(xy)'. 于是得(sinxy)'=cos(xy)*(xy)',
2,现在求(xy)'. 按照积的导数公式进行: (xy)'=x'y+xy'=y+xy'
∴(sinxy)'=cos(xy)*(xy)'=cos(xy)*(y+xy')
至此,实际就涉及到了隐函数因为我们是对x求导的,式中的y表示什么,你的题中没有讲到,所以就只能用式子来表示了.
典型的隐函数求导,莫如圆的方程:x²+y²=r².式中,x和y有密切关系,需要时我们可以用x来表示y.这里y就是x的隐函数.在对x求导时,就是把y当作了x的复合函数进行的:
两边对x求导:(x²+y²)'=(r²)'
( x²)'+(y²)'=0
2x+2yy'=0 ————把y当成复合函数求导
y‘＝－x/y _ ____由上式变形得到y对x的导数。
对根号求导时，是把根号化成指数的形式进行。如√x＝x^(1/2),然后代(x^n)'的公式。
（√x）’＝(x^1/2)'=1/2x^(1/2-1)=1/2x^(-1/2)=1/2*[1/x^1/2]=1/√x

追问

那如果根号下 1+X^2还有根号下 x^2+1/1+x^2 怎么来求导呢？

追答

√（1+X^2）又属于复合函数。第一步代(x^1/2)'公式，然后乘（1＋x²）'
(√（1+X^2）)'=1/2（1+X^2）^(-1/2)*(1+x²)’＝1/2*〔1/√（1＋x²）〕×2x＝x/√（1＋x²）

√〔x^2+1/1+x^2〕不就是√1＝1吗？它的导数就是0。

追问

还要继续追问你几个 不懂的 比如3根号下的x(x+1)/(x+2)e^x 怎么求 还有就是关于y是x的函数对x求导的问题例题y^5+y-2x-x^6=0 (x=0)怎么求 还有in根号下x^2+y^2=arctany/x 怎么求 谢谢你了

追答

｛3√〔x(x+1)/(x+2)e^x〕｝' =3/2〔x(x+1)/(x+2)e^x〕^(-1/2)*〔x(x+1)/(x+2)e^x]' (先求根号的导数，并乘被开方数的导数)
＝3/2〔x(x+1)/(x+2)e^x〕^(-1/2)*〔x(x+1)]'(x+2)e^x-x(x+1)[(x+2)e^x]'/(x+2)²e^2x（求根号内分式的导数）
＝3/2〔x(x+1)/(x+2)e^x〕^(-1/2)*〔(x+1)＋x](x+2)e^x-x(x+1)[(e^x+(x+2)e^x]/(x+2)²e^2x (求分子中积的导数)
＝…… （把能化简的化简；请复核！ 这里是按e^x在分母中处理的。 本题是复合函数不是隐函数）

y^5+y-2x-x^6=0 (x=0) 这就典型的隐函数，给两边对x求导，y作为x的函数，用符合函数求导的方法
（y^5+y-2x-x^6）' =0'
5y^4 * y '+1* y '-2-6x^5=0 (y是x的函数，按复合函数求导公式，求得y^5导数后还需乘y的导数y')
(5y^4+1)y '=2+6x^5
y '=(2+6x^5)/(5y^4+1)
当x＝0时代入原式得y^5+y-2×0-0^6=0 ∴y＝0
∴ 函数在x＝0处的导数是 y '＝（2+6×0^5)/(5×0^4+1)＝2

in√（x^2+y^2）=arctany/x 这也是隐函数
〔in√（x^2+y^2）〕’=〔arctany/x〕’
[ 1/√（x^2+y^2）]*[√（x^2+y^2）〕'=｛1/〔1＋(y/x)²〕｝×（y/x）' （代（lnx）’和(arctanx)' )
[ 1/√（x^2+y^2）]*[（x^2+y^2)^(-1/2)]*（x^2+y^2）'=x²/(x²＋y²)×（y'x-yx')/x²(代（√x）' 和（u/v）')[ 1/√（x^2+y^2)*（2x+2y×y'）=(y'x-y)/(x²＋y²) (化简，并代（x^n)')
2x+2y×y'=y'x-y (化简)
（x-2y）y'=2x+y
∴y'=(2x+y)/(x-2y)
请复核。

Answer 2

(1)隐函数求导，就是两边同时对未知数求导。举个例子：
方程y^2=2px所确定的隐函数y=f(x)的导数.
解: 将方程两边同时对x求导, 得
2y y'=2p,
解出y'=p/y即得
(2)ln(1+x^2)的求导属于复合函数求导。复合函数求导法则你总该知道吧。
所以该题为[]ln(1+x^2)]'=2x/(1+x^2)
同样的√（1+x^2）的求导也是复合函数求导。
所以[√（1+x^2）]'=x/√（1+x^2）
呃。。。。可懂？

追问

问你个呆跟号的如何求导呢 还有就是为什么sinxy 在隐函数求导之后会有一个cosxy (y+xy')呢

追答

先给你看看复合函数的求导法则：复合函数求导法则:
y=f(u),u=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
理解了这个东西就万事OK了。
举个例子：
y=2x3+In(2x3) dy/dx=?
设u=2x3
则y=u+lnu
dy/du=1+1/u
du/dx=6x2
所以dy/dx=dy/du*du/dx=(1+1/u)*6x2=6x2*[1+1/(2x3)]=6x2+3/x

关于带根号的求导也是一样的。基本公式（√x）'=1/(2√x)。
你看看能不能理解.

Answer 3

有点乱

追问

这有三方面我都不了解 所以就想都问下 我在自学高数所以 。。。