Question

请问为什么不能这样求极限

Answer 1

两部分相加求极限的时候，可以将两部分分别求极限，然后再相加，只要两部分极限都不为±∞就行了（可以为0）。

两部分相乘求极限的时候，也可以将两部分分别求极限再相乘，如果是求极限的最后一步，可以直接求出结果。但如果它们只是算式中的一部分，则需要两部分都不为±∞或0才行。

图中的解答方法，将上述两个错误都犯了。

两个根号相减，两个根号部分的极限都是无穷大，但无穷大和无穷大并不等同，相减也并不一定等于零。打个比方，求（x+1）-x的极限，x+1极限为∞，x极限也为∞，但两者相减，很明显极限为1，不为0。

单独看某一个部分，你提取出一个x来，变成了x乘根号的形式，如果是单独求该部分的极限，则可以根据你的方法求得极限为+∞。但因为该题是两个部分相减（典型的∞-∞型极限），由于里面有x极限是无穷大，所以就不能简单地分别求极限再相乘。

该题正确的解法如下：

在上述解法的倒数第二行，有：

分子是两部分相加，两部分都不为±∞，所以可以直接将两部分分别求极限再相加；

分母也是两部分相加，且两部分都不为±∞，所以可以直接将两部分分别求极限再相加；

分子分母的极限都不等于±∞或0，所以才可以分子分母分别求出极限再相除（如果分子分母中只有一个是±∞或±0，作为求极限的最后一步，也可以直接求极限再相除）。

Answer 2

无穷大减无穷大是不定式。即:需要对函数进行有理化后，再进行下一步。

详情如图所示:

常规解法，供参考，请笑纳。

Answer 3

∞-∞这种形式是不能直接求的，只能通过转化来求…，最后给你举了一个反例

Answer 4

你这个错误是：等价无穷小精确度不够，尤其在加减时 。
你取 (1+x)^n ~ 1 ，太粗糙，应该用 (1+x)^n ~ 1+nx (x→0) 。
原式 = lim [x(1+4/2x) - x(1 - 2/2x)] = 3，既简单又正确。

Answer 5

同时除以x，x是分母。