若 a平方(b-c)+b平方(c-a)+c平方(a-b)=0 求证a b c 中至少有两个数相等
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a平方(b-c)+b平方(c-a)+c平方(a-b)=0
观察第三项
a-b = (a-c) - (b-c)
所以原式 =
a平方(b-c)+b平方(c-a)+c平方[(a-c) - (b-c)]=0
(b-c)[a^2 - c^2]+(a-c)[c^2 - b^2] = 0
(b-c)(a+c)(a-c)+(a-c)(c+b)(c-b) = 0
(b-c)(a-c)(a+c - c-b) = 0
(b-c)(a-c)(a-b) = 0
假设a b c 互不相等
则式子不会等于0
所以假设不成立
所以a b c 中至少有两个数相等
观察第三项
a-b = (a-c) - (b-c)
所以原式 =
a平方(b-c)+b平方(c-a)+c平方[(a-c) - (b-c)]=0
(b-c)[a^2 - c^2]+(a-c)[c^2 - b^2] = 0
(b-c)(a+c)(a-c)+(a-c)(c+b)(c-b) = 0
(b-c)(a-c)(a+c - c-b) = 0
(b-c)(a-c)(a-b) = 0
假设a b c 互不相等
则式子不会等于0
所以假设不成立
所以a b c 中至少有两个数相等
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