Question

如图所示，六边形ABCDEF中，AB=BC=CD=DE=EF=FA，并且∠A+∠C+∠E=∠B+∠D+∠F.

求证：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.

Answer 1

解：因为AB=BC=CD=DE=EF=FA，所以可以此图形为菱形
因此BC//FE CD//AF DE//AB
作辅助线，连结BF CE
由于BC平行且等于FE 可得BF平行且等于CE 再加上条件AB=CD=DE=FA
可以的三角形AFB全等于三角形DEC 因此可得：∠A=∠D
同理得，∠B=∠E，∠C=∠F.

追问

菱形是四边形的四条边相等得到的，这是六边形，怎么可以直接得到平行条件呢？

Answer 2

反证法：若不等，可设角A大于角D。
则：角ABF=角AFB< 角DCE=角DEC，
进而得到FB>CE。
又由于三角形FBE和三角形EBC有两个边相等，所以大边对大角，
得到：角BEF>角EBC，同时也得到角BCE+角CEB>角FBE+角BFE。
观察发现角C+角E+角A是上边所有不等式的大的一侧的角的和，角B+角F+角D则是小的一则的和。所以角C+角E+角A>角B+角F+角D,和条件相悖。
然后在证，各对角相等的情况可达，即对边两两平行的情况。

Answer 3

因为AB=BC=CD=DE=EF=FA，
所以这是个正六角形，
所以∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.