Question

平面向量的线性运算

（1）
设点A1,A2是线段AB的三等分点，若向量OA=a,向量OB=b，
试用a,b表示向量OA1,向量OA2.
（2）
类比：当A1,A2三等分线段AB时，有向量OA1+向量OA2=向量OA+向量OB
当A1,A2,A3四等分线段AB时，有向量OA1+向量OA2+向量OA3=3/2(向量OA+向量OB);
则当A1,A2,…,A(N-1) n等分线段AB时，有何结论？请证明你的结论。

求2详细过程

Answer 1

解：(1) 因为 OA =a, OB =b,
所以 AB =OB -OA
=b-a.

不妨设 A1 靠近点A, A2 靠近点B,
(如果你有图的话,就不用说明了.)

则 AA1 =(1/3) AB
=(1/3) (b-a),
AA2 =(2/3) AB
=(2/3) (b-a).
所以 OA1 =OA +AA1
=(2/3) a +(1/3) b,
OA2 =OA +AA2
=(1/3) a +(2/3) b.

(2) 当A1,A2,…,A(n-1) n等分线段AB时,
OA1 +OA2 +... +OA(n-1) =[ (n-1) /2 ]*(OA +OB).
证明：不妨设 A1,A2, ..., A(n-1) 的位置如图所示
( A, A1, A2, ..., A(n-1) ,B 按顺序排列, 自己画图.)
则 A A(k) =(k/n) AB
=(k/n) (b-a), k=1,2, ... ,n-1.
所以 O A(k) =OA +A A(k)
= [ (n-k) /n ] a +(k/n) b, k=1,2, ... ,n-1.
所以 OA1 +OA2 +... +OA(n-1)
=[ (n-1) /n +(n-2) /n +... +1/n ] a +[ 1/n +2/n +... +(n-1) /n ] b
= [ (n-1) /2 ] a +[ (n-1) /2 ] b
= [ (n-1) /2 ] (OA +OB).

Answer 2

则当A1,A2,…,A(N-1) n等分线段AB时，有向量OA1+向量OA2+....向量OAn-1=(n-1)/2(向量OA+向量OB);
用向量加法的平行四边形法则就可以证明。