Question

微分方程y''-y'-2y=xe^2x的一个特解y*应设为?

Answer 1

对应齐次线性方程为y''-y'-2y=0,
特征方程为：r^2-r-2=0,
(r-2)(r+1)=0,
r=2,r=-1,
∴通解为：y=C1*e^(2x)+C2*e^(-x),
非齐次方程为：y''-y'-2y=f(x),
f(x)=x*e^(2x),
属于f(x)=Pm(x)e^(αx)型,
α=2,是本特征方程的一个根,
设y*=x^kQm(x)e^(αx）,
α=2,
Qm(x)应与x为同次多项式,设为（ax+b),
k是根据依据α是否为特征方程的根而定,1、不是特征方程的根,k=0,
2、是特征方程的单根,k=1,
3、α特征方程的重根,k=2,
故应设特解:y*=x(ax+b)e^(2x),
用待定系数法代入微分方程中,解出特解.