Question

如图15：已知，直角梯形ABCD中，AD//BC， DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB= ．点O为BC边上的一个点，连结OD

COSB=3/5点O为BC边上的一个点，连结OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连结MN．
（1）当BO=AD时，求BP的长；
（2）点O运动的过程中，线段 BP与MN能否相等？若能，请求出当BO为多长时BP=MN；若不能，请说明理由；
（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围。

Answer 1

解：（1）过点A作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，由AB=5，cosB= 35，得BE=3，
∵CD⊥BC，AD‖BC，BC=6
∴AD=EC=BC-BE=3
当BO=AD=3时，在⊙O中，过点O作OH⊥AB，则BH=HP，
∵ BHBO=cosB
∴BH= 3×35=95
∴BP= 185；

（2）不存在BP=MN的情况．
假设BP=MN成立，
因为BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC，
过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB，
∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC
设BO=x，则PO=x，由 BHx=cosB=35，得BH= 35x，
∴BP=2BH= 65x
∴BQ=BP×cosB= 1825x，PQ= 2425x
∴OQ= x-1825x=725x
∵△PQO∽△DOC
∴ PQOQ=DCOC，即 2425x725x=46-x
得 x=296
当 x=296时，BP= 65x= 295＞5=AB，与点P应在边AB上不符，
∴不存在BP=MN的情况．

（3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时0＜CN＜6；
情况二：⊙O与⊙C相内切，此时0＜CN≤ 73．

Answer 2

（1）过点A作AE⊥BC
在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=3 5 ，得BE=3
∵CD⊥BC，AD∥BC，BC=6
∴AD=EC=BC-BE=3
当BO=AD=3时，在⊙O中，过点O作OH⊥AB，则BH=HP，
∵BH BO =cosB
∴BH=3×3 5 =9 5∴BP=18 5

（2）不存在BP=MN的情况．
假设BP=MN成立，
因为BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC，
过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB，
∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DCO
设BO=x，则PO=x，由BH x =cosB=3 5 ，得BH=3 5 x，
∴BP=2BH=6 5 x
∴BQ=BP×cosB=18 25 x，PQ=24 25 x
∴OQ=x-18 25 x=7 25 x
∵△PQO∽△DOC
∴PQ OQ =DC OC ，即24 25 x 7 25 x =4 6-x
得x=29 6
当x=29 6 时，BP=6 5 x=29 5 ＞5=AB，与点P应在边AB上不符，
∴不存在BP=MN的情况．

（3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时0＜CN＜6；
情况二：⊙O与⊙C相内切，此时0＜CN≤7 3 ．

Answer 3

：（1）如图1，
过点A作AH⊥BC于点H．
∵在直角△ABH中，cosB=

3
5
．∴

BH
AB
=

3
5
，

∵AB=5．
∴BH=3AH=4．
∵BC=6，
∴CH=3．
∵AH⊥BC，DC⊥BC，
∴AH∥DC．
∵AD∥BC，
∴四边形AHCD是矩形．
∴AD=CH=3，DC=AH=4．
∴AC=5．

（2）如图2，连接OG．
∵⊙O与对角线AC相切，
∴OG⊥AC．∴△OCG∽△ACH．
∴

OC
AC
=

OG
AH
．

设OB=r，则OC=6-r．
∴

6-r
5
=

r
4
．∴r=

8
3
，即OB=

8
3
．

（3）如图3，
当点O在线段BC上运动到使P、A重合时，⊙C的半径CN最大．
过点O作OF⊥AB于点F．
∵OA=OB，AB=5，
∴BF=

5
2
．∵cosB=

3
5
，∴

BF
OB
=

3
5
．∴OB=

25
6
．∴ON=

25
6
．

∵BC=6，
∴OC=6-

25
6
=

11
6
．∴CN=ON-OC=

25
6
-

11
6
=

7
3
．

（4）如图4，
在点O在线段BC上运动的过程中，不存在MN∥AC的情况．
理由：假设MN∥AC，则

OM
OE
=

ON
OC
．

∵OM=ON，
∴OC=OE．
∵AD∥OC，
∴

AD
OC
=

DE
OE
．

∴AD=DE．
∵AD=3，
∴DE=3．
设OB=r，则OC=OE=6-r，OD=OE+ED=6-r+3=9-r．
∵在直角△OCD中，OC2+CD2=OD2．
∴42+（6-r）2=（9-r）2．
∴r=

29
6
．

∵△OBP∽△ABC，
∴

OB
AB
=

BP
BC
．∴

r
5
=

BP
6
．∴BP=

6
5
r=

6
5
×

29
6
=

29
5
＞AB=5．

∴与点P在AB上矛盾．
∴在点O在线段BC上运动的过程中，不存在MN∥AC的情况．

Answer 4

问题有错误