Question

关于三角形外接圆半径R与内切圆半径r关系的一些探究

Answer 1

这几天做到一道题目：

求证：ABC中，abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

这题可以用SQP法，但我在尝试时，注意到RHS类似海伦公式：

（这里我把p=(a+b+c)/2带入）

并且有：

（由正弦定理可以推出）

所以 4SR≥16 S^2/(a+b+c)

即 R≥4 S/(a+b+c)

又因为

所以有 R≥2r ，并且 由原题取等条件可知，当且仅当ABC为等边三角形时 R=2r

因此我们得到结论，三角形的外接圆半径大于等于内接圆半径的二倍。

以上是由一道题而引发的对于三角形外接圆半径与内切圆半径关系的一些探究。

                                                    —— RT