Question

线性代数 特征值与特征向量问题

知特征值与特征向量，求此矩阵A???如何求？

Answer 1

如果已知n阶方阵的n个特征值a1,a2,...,an(重根按重数记),
且知 分别属于特征值ai的特征向量pi.
且p1,p2,...,pn 线性无关, 则可以求出矩阵A.

令P = (p1,p2,...,pn),
对角矩阵 diag(a1,a2,...,an)
则 A = P diag(a1,a2,...,an) P^(-1)

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追问

a1*a2*....an=det(A) ???
我就说嘛，怎么会出这问题,都不知道怎么算，看来要多练习才行啊，
对了还有个问题请教你。
已知3阶矩阵A的特征值为-1，1，2，设B=A2+2A-E，求
（1）矩阵A的行列式及A的秩.
（2）矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.
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同样也感谢另一位，因为要追问，所以就不好意义了。

追答

A的行列式等于A的所有特征值之积, 所以 a1*a2*....an=det(A)

已知3阶矩阵A的特征值为-1，1，2, 所以 |A| = -1*1*2 = -2, A的秩 = 3.
设 f(x) = x^2 +2x - 1, 则 B = f(A) = A^2+2A-E 的特征值为:
f(-1) = 1-2-1 = -2
f(1) = 1+2-1 = 2
f(2) = 4 +4 -1 = 8
与B相似的对角矩阵为 diag(-2,2,8)

Answer 2

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Answer 3