Question

这个数学题，有知道解答过程的吗？

关于抛物线的，有知道解答过程的吗

Answer 1

（1）抛物线的对称轴是竖向的，位于两个对称点在正中间。y轴是x=0，右移4，是x=4，两点对称，对称轴是x=（0+4）/2=2
（2），x=0，y=3m，x=4，y=16m+4n+3m=3m，16m+4n=0，n=-4m

或者对称轴x=-b/2a=-n/2/m=2，n=-4m

（3）y=mx²-4mx+3m=m（x²-4x+3）=m（x-1）（x-3）
M（1，1），N（4，4m-1）线段，与抛物线恰好有一个交点，有两种情况，其一是，线段与抛物线相切，且切点在MN之间；其二是，M与N分别位于抛物线内外。
MN方程：[y-（4m-1）]/(4m-2)=(x-4)/(4-1)=(x-4)/3
分子加分母：（y-1）/（4m-2）=（x-1）/3，y=（x-1）（4m-2）/3+1
y'=（4m-2）/3
抛物线：y'=m（2x-4）=（4m-2）/3
2x-4=（4m-2）/3m
x-2=（2m-1）/3m
x=2+（2m-1）/3m
=（8m-1）/3m=8/3-1/3m
y=（x-1）（4m-2）/3+1
=（5/3-1/3m）（4m-2）/3+1
=（5m-1）（4m-2）/9m+1
=（20m²-14m+2）/9m+1
=（20m²-5m+2）/9m
代入抛物线方程：
（20m²-5m+2）/9m=m（5/3-1/3m）（-1/3-1/3m）=-m（5m-1）（m+1）/9m
m≠0，
20m²-5m+2=-m（5m-1）（m+1）=-5m³-4m²+m
5m³+24m²-6m+2=0
1≤8/3-1/3m≤4
3≤8-1/m≤12
-5≤-1/m≤4
-4≤1/m≤5，
m≤-1/4，或m≥5

追问

主要是第4小问的解答

追答

M，N点分别位于抛物线内外，抛物线上x=1的点与1的差，x=4的点与4m-1的差异号。
(0-1)(m(4-1)(4-3))〈0
3m〉0
m〉0
抛物线上，x=1，y=0,M不在抛物线上；
x=4,y=3m，3m=4m-1，
m=1，此时，N点在抛物线上。

(4)根据抛物线的对称性，四边形ABCD是等腰梯形，A(0,3m)，B(4，3m)，C(1,0)，D(3，0)

求y=-2x十6m与梯形的交点。
与x轴的交点(3m，0)；与y=3m的交点，(3m/2，3m)，

左腰，y=-3m(x-4)=-3mx十12m；右腰，y=3m(x-3)=3mx-3m。

直线与左腰的交点：
-2x十6m=-3mx十12m
(3m-2)x=6m，x=6m/(3m-2)，y=-12m/(3m-2)十6m=(18m²-24m)/(3m-2)

直线与右腰的交点：
-2x十6m=3mx-9m(前面写错了)
15m=(3m十2)x
x=15m/(3m十2)
y=-30m/(3m十2)十6m
=(18m²-18m)/(3m十2)

左腰方程输错了：
y=-3m(x-1)=-3mx十3m
-2x十6m=-3mx十3m
(3m-2)x=-3m
x=-3m/(3m-2)
y=6m/(3m-2)十6m
=6m(3m-1)/(3m-2)
=(18m²-6m)/(3m-2)

如果m〉0,由C，D向AB作垂线，垂足EF，如果直线与梯形的交点，位于中央矩形边CD，EF，则直线过CDEF中心(2,3m/2)时，必平分矩形，从而平分梯形。
3m/2=-2×2十6m
4=(6-3/2)m=(9/2)m
m=8/9，
3m=8/3，在1,3之间；
3m=-2x十6m
x=(3/2)m
=(3/2)×8/9
=4/3，也在[1,3]内。
符合题意。

m〈0，直线在梯形下方，无解。

排除了与腰相交的情形，直线把梯形分成两个梯形。分别上下底之和相等即可。
(3m-1)十3m/2=(3-3m)十(4-3m/2)
9m/2-1=7-9m/2
9m=8，m=8/9，
结果一样。

m〈0，第(3),MN与抛物线只有一个交点。