Question

在1+11+111+1111+。。。。。+111.。。1111（最后一项2009个1）的和之中，数字1 共出现的次数是多少

Answer 1

因111...1(n个1)=999...9(n个9)/9=(10^n-1)/9
所以原式
(10-1)/9+(100-1)/9+(1000-1)/9+...+(1000...0(2009个0)-1)/9
=111...1(2009个1)0/9-2009/9
=111...1(2005个1)09101/9
=123456790123456790123456790...(2005/9=222...7;222组)12345678789(是111111109101/9得来的)
所以共有222+2=224个1

追问

那也应该是223个呀

追答

上面的错了，应该是223个
下面链接有很直观的解题方法。。
http://www.jsszzx.net/ReadNews.asp?newsid=2523

因111...1(n个1)=999...9(n个9)/9=(10^n-1)/9
所以原式
(10-1)/9+(100-1)/9+(1000-1)/9+...+(1000...0(2009个0)-1)/9
=111...1(2009个1)0/9-2009/9
=111...1(2005个1)09101/9
=123456790123456790123456790...(2005/9=222...7;222组)12345678789(是111111109101/9得来的)
所以共有222+1=223个1

Answer 2

1个1

上面的数相加的和相当于对一个数列求和，这个数列是：An=n*10^（n-1）（2009个1是个位，2008个1是10位……)
An - 10An-1= n10^（n-1） - (n-1)*10^（n-1） =10^（n-1）
设Sn为 An的前n项和
Sn = An + An-1 + …… + A2 + A1
10Sn =10An + 10An-1 + 10An-2 + …… + 10 A1
错位相减
10Sn -Sn = 10An- A1 -（ 10^n+1010^(n-1)+……+10）

9Sn = n*10^n - 11111…（n个1）

当n=2009时

9S = 20090000……（2009个0） - 111111……（2009个1）
S =2008888……8888889（2009个8） / 9
=22320987654320987(循环)………1

Answer 3

有223个1
Sn=(an+1-(n+1))/9

Answer 4

观摩一下