Question

定积分的运算

Answer 1

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。分点问题
定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距
是相等的。但是必须指出，即使
不相等，积分值仍然相同。
我们假设这些“矩形面积和”
，那么当n→+∞时，
的最大值趋于0，所以所有的
趋于0，所以S仍然趋于积分值。
利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼兹公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。
例如：证明对于函数
有
。
证明：选择等比级数来分点，令公比
且
，
那么“矩形面积和”为
提取
，则有
利用等比级数公式，得到
其中
。
设
， 令
，则
令n增加，则s,q都趋于1，因而N的极限为