Question

已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证：(a+ )(b+ )≥ .

Answer 1

本题可采用分析综合、均值代换、三角代换等多种方法得证。
要证(a+ )(b+ )≥ ，即证ab≤ 或ab≥8.，再根据a＞0，b＞0，且a+b=1.分析即可得证。

【错解分析】此题若直接应用重要不等式证明，显然a+ 和 b+ 不能同时取得等号，如果忽略这一点就很容易出错了。
【正解】证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab) 2 +4(a 2 +b 2 )－25ab+4≥0，
即证4(ab) 2 －33(ab)+8≥0，
即证ab≤ 或ab≥8.
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立
∵1=a+b≥2 ，∴ab≤ ，从而得证.
证法二：(均值代换法)设a= +t 1 ，b= +t 2 .∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t 1 +t 2 =0，|t 1 |＜ ，|t 2 |＜

显然当且仅当t=0，即a=b= 时，等号成立.
证法三：(比较法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤

证法四：(综合法)∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤ .


证法五：(三角代换法)∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin 2 α，b=cos 2 α，α∈(0， )

【点评】证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点。不等式证明常用的方法有：
（1）比较法：比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.
（2）综合法和分析法：综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.
（3）不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.