Question

深入理解向量进行矩阵变换

Answer 1

可以有以下两种理解：

就是长这个样子：

前面说过，某个向量可以看成一些 标量 倍的基向量的和。
比如，上面提到的那个向量，则是x倍的i向量+y倍的j向量，即xi+yj
那我们上面矩阵运算的结果则可以看成是ax+by+cx+dy
我们简单处理一下，则会得到（a+c）x +（b+d）y，是不是看上去就是这个矩阵对原始的x和y做了点什么。
那（a+c）和（b+d）又是什么呢？其实可以理解为他是一个新的基，为什么这么说呢，我们把刚才丢掉的两个数放里面就比较好理解了，如果i和j是老基的单位向量的话，那这个点的向量应该是（xi+yj）吧，上面其实说过了

那么完整的新向量应该是axi+byj+cxi+dyj
也就是（ai+ci）x+（bj+dj）y
对于老的基来说，这个点的x移动了（ai+ci）y方向移动了（bj+dj）
但是对于这个点来说，它一直都是（x，y）从来没有动过，动的只是基变了而已

综上我们得到的结论是：