Question

在线等！！！下面这道微分方程该怎样解答啊？？？？

(e^x+3y^2)dx+2xydy=0
上面微分方程的通解为多少啊？？？该怎么求啊？？

Answer 1

利用积分因子方法，u=e^(∫(dP/dy-dQ/dx)/Qdx)=x^2,即方程左右同时乘以x^2得到：(e^x*x^2+3y^2*x^2)dx+2y*x^3dy=0
,于是dP/dy=dQ/dx,上面的方程为全微分方程，其通解是很容易求的：y^2*x^3+x^2*e^x-2x*e^x+2e^x=C.积分因子方法是求解一阶常微分方程很有用的方法，你不妨学学，教你一个快速求解全微分方程通解的方法，即分别对P求关于x的积分，对Q求关于y的积分，两个积分结果中相同的项只保留一个，然后合并一起即是通解：y^2*x^3+x^2*e^x-2x*e^x+2e^x=C.

Answer 2

先换元，令t=y^2，方程化为e^x+3t+xt'=0
这个就是课本上经常出现的方程，
先解3t+xt'=0，得：t=1/x^3+C
现在，在原方程中，令t=u/x^3，得：
e^x+u'/x^2=0
即u=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C
把u代回去，就能求出y