Question

求助一道高数题，关于微分方程的应用

设时刻t的国民收入为y=y(t)，国名债务为g=g(t)，且dy/dt=ay，dg/dt=by，y(0)=y*，g(0)=g* ，其中a＞0,b＞0为常数，
（1）求y(t)与g(t)的表达式
（2）求lim [g(t)/y(t)]
t→+∞

Answer 1

(1)dy/dt=ay 变量可分离=> dy/y=adt => lny = at+lnC, y= Ce^(at), 又y(0)=y*, y=y* e^(at),
dg/dt=by= by* e^(at), 积分得 g=( by*/a) e^(at)+C1 , 又g(0)=g* ，g= ( by*/a) e^(at)+(g*- by*/a) .
(2) g(t)/y(t)=( b/a) +(g*/y* - b/a) e^(-at)
lim [g(t)/y(t)] = b/a

Answer 2

ef

Answer 3

（1）由dy/dt=ay,y(0)=y*得到：y(t)=y*e^(at)，再代入dg/dt=by得到：g(t)=(by*/a)*e^(at)+g*-by*/a。
（2）g(t)/y(t)=b/a+(g*/y*-b/a)*e^(-at)，对于t取极限，后面那一项由于a>0，故而极限为0，从而剩下首项b/a，这也就是极限值~~~^^