Question

椭圆参数的推导过程

Answer 1

二次曲线的一般式方程为 ，当 时所表示的图形为椭圆。

设椭圆的圆心为 ，长半轴长度为 a，短半轴长度为 b，长半轴与 x 轴的夹角为 θ。

通过将坐标做平移和旋转变化，可以得到标准形式的椭圆方程：

展开后，与一般式做对比，并且由于一般式方程乘以任意的非零常数 k 仍成立，可得：

可以先解出：

利用 可得：

所以 ，利用 可得：
。

利用 可得：

假设 A>0，否则所有系数乘以-1，最后解出：

长半轴对应的倾角为 。

把标准椭圆的参数方程

旋转 θ 角，再平移到 ，得到的参数方程为：

解出：

由 可得：

形如 的二次曲线方程可以写成矩阵形式：

其中 ，称作(x,y)的齐次坐标， 为系数矩阵。

如果允许 ，𝘅 的定义域从二维欧氏空间扩展到二维投影空间。

当 时，Q 表示椭圆。 称作极点 𝘅 关于椭圆 Q 的极线。当 𝘅 在 Q 上时， 经过 𝘅， ，且 是 Q 在 𝘅 处的切线。当 𝘅 椭圆外面时，𝘅 离椭圆越远， 越靠近椭圆的圆心。

无穷远点 的极线 和无穷远点 的极线 都过圆心。

联立 可解出椭圆的圆心坐标为：

Q 可以分解为：

其中 。

形如 的系数矩阵可表示圆心在原点上的椭圆。

取 的本征值和本征向量， ，左侧的 是坐标点，右侧的 是极线的参数，即 ， 作为向量则表示垂直与极线的方向。所以本征向量 是作为坐标点的 对应的极线垂直于作为向量的 的向量。当坐标点 在椭圆上时，该点的切线垂直于该点到原点的连线。

仅当极点在轴线上时，对应的极线垂直于轴线。仅当轴线过原心时轴线的方向与轴线上点的坐标值一致。当两条轴线都过原点时，椭圆的圆心在原点上。

因为 是齐次坐标，只有前两个维度表示轴线方向所以有

解出来的本征向量就是椭圆轴线的方向：

本征值为：

两个正交的轴线方向组成一个旋转矩阵，坐标变换后椭圆的系数矩阵变为 ，对比椭圆的标准型 ，可知 为椭圆半轴的长度。本征值与半轴的平方成反比，所以绝对值较小的本征值对应椭圆的长半轴。当 a 和 c 为正数时 ， 为长轴方向；当 a 和 c 为负数时 ， 为长轴方向。

半轴长度的平方为：

与 x 轴的夹角为：

当 已知时，根据前面的推导：

取 ，得：