Question

设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|，解不等式f(x)>2。求函数y=f(x)的最小值。

设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|，解不等式f(x)>2。求函数y=f(x)的最小值。

Answer 1

设x∈（-∞，-1/2)，f(x)=-2x-1-4+x=-x-5＞2，x＜-7
设x∈[-1/2，4)，f(x)=2x+1-4+x=3x-3＞2，5/3＜x＜4
设x∈[4，+∞)，f(x)=2x+1-x+4=x+5＞2恒成立
∴x＜-7或x＞5/3
x=-1/2时，取最小值3*(-1/2)-3=-9/2

Answer 2

使用matlab解
ezplot('abs(2*x+1)-abs(x-4)')
发现f（x）=2 有两解
fsolve('abs(2*x+1)-abs(x-4)-2',-10)
fsolve('abs(2*x+1)-abs(x-4)-2',10)
x=-7 x=1.67
fminsearch('abs(2*x+1)-abs(x-4)',0)
x=-0.5

Answer 3

x @(-oo, -0.5], f(x)= -x-5 >2; x< -7;
x @ (-0.5, 4], f(x)= 3x -3 >2; x> 5/3; 5/3<x<=4;
x @ (4, +oo), f(x)= x+5 >2; x>-3; x>4;
f(x)>2的解为：x<-7或x>5/3;
由-x-5=3x-3:
x=-1/2时f(x)最小= -9/2

Answer 4

x>=4时，原式=2x+1-x+4=x+5>2都成立
x<=-1时，原式=-2x-1-4+x=-x-5>2，得x<-7
-1<x<4时，原式=3x-3>2，得5/3<x<4
综上：x<-7或x>5/3
最小值为-5