高等代数理论基础57：矩阵相似的条件
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引理：若有 数字矩阵 使 ,则A与B相似
证明：
引理：对任何不为零的 数字矩阵A和 -矩阵 与 ,一定存在 -矩阵 与 以及数字矩阵 和 ,使 ,
证明：
定理：设A,B是数域P上两个 矩阵,A与B相似的充要条件为它们的特征矩阵 和 等价
证明：
矩阵A的特征矩阵 的不变因子简称为A的不变因子
两个 -矩阵等价的充要条件为它们有相同的不变因子
推论：矩阵A与B相似的充要条件是它们有相同的不变因子
矩阵的特征矩阵的秩一定为n,故 矩阵的不变因子总有n个,且它们的乘积即这个矩阵的特征多项式
注：不变因子是矩阵的相似不变量,故我们可将一个线性变换的任一矩阵的不变因子(与矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子
证明：
引理：对任何不为零的 数字矩阵A和 -矩阵 与 ,一定存在 -矩阵 与 以及数字矩阵 和 ,使 ,
证明：
定理：设A,B是数域P上两个 矩阵,A与B相似的充要条件为它们的特征矩阵 和 等价
证明：
矩阵A的特征矩阵 的不变因子简称为A的不变因子
两个 -矩阵等价的充要条件为它们有相同的不变因子
推论：矩阵A与B相似的充要条件是它们有相同的不变因子
矩阵的特征矩阵的秩一定为n,故 矩阵的不变因子总有n个,且它们的乘积即这个矩阵的特征多项式
注：不变因子是矩阵的相似不变量,故我们可将一个线性变换的任一矩阵的不变因子(与矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子
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