Question

a^3-b^3等于多少?

Answer 1

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

两数的平方和加上两数的积再乘以两数的差，所得到的积就等于两数的立方差。

因为(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

所以根据交换律法则：

a3-b3=(a-b)3-(-3a2b+3ab2)

=(a-b)(a-b)2+(3ab*a)-(3ab*b)

=(a-b)(a-b)2+(a-b)(3ab)

=(a-b) [(a-b)2+3ab]

=(a-b) [(a2-2ab+b2)+3ab]

=(a-b)(a2+ab+b2)

证得：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

有立方和公式及其推广：

(1) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

b+...+(-1)^(r-1)a^(n-r)b^(r-1)+...+b^(n-1)]

n为大于零的奇数，r为中括号内项的序数，后面括号中各项式的幂之和都为n-1，an表示a的n次方。(n大于0且n不等于2)

解题时常用它的变形：(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)和 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)=(a+b)(a2+b2-ab)相应的，立方差公式也有变形：a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b)=(a-b)(a2+b2+ab)。