Question

若正项数列{an}满足an+1²=an²+2,且a25=7，则a1=?

Answer 1

（1）设{an}的公差为d，则cn+1-cn=（an+12-an+22）-（an2-an+12）=2an+12-（an+1-d）2-（an+1+d）2=-2d2 ∴数列{cn}是以-2d2为公差的等差数列（4分） （2）∵a1+a3+…+a25=130a2+a4+…+a26=143-13k∴两式相减：13d=13-13k ∴d=1-k（6分） ∴13a1+ 13(13−1) 2 ×2d＝130∴a1=-2+12k（8分） ∴an=a1+（n-1）d=（1-k）n+（13k-3） ∴cn=an2-an+12=（an+an+1）（an-an+1）=26k2-32+6-（2n+1）（1-k2）=-2（1-k）2•n+25k2-30k+5（10分） （3）因为当且仅当n=12时Sn最大 ∴有c12＞0，c13＜0（12分） 即 −24(1−k)2+25k−30k+5＞0 −36(1−k)2+25k2−30k+5＜0 ⇒ k2+18k−19＞0 k2−22k+21＞0 ⇒ k＞1或k＜−19 k＞21或k＜1 ⇒k＜−19或k＞21（1