Question

函数在点x0处连续，则f（x0）=0吗？

Answer 1

一定连续。（连续与可导千万不要弄混了，左右导数存在与可导不可导没有关系）

由于符号太难打，只能用文字和图片给你说明了：
单侧导数定义：根据函数在点处的导数的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此存在即在点处可导的充分必要条件是左、右极限

及

都存在且相等.这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作及，即

，

由此看出，单侧导数存在，那么在此点一定有定义即上面所说的f(x0),又因为函数映射是一一对应关系，即一个x对应一个y ,那么不可能存在在x0处出现两个因变量，否则它不是函数，也就说在此点连续，这个可以证明的，你可以用任意数ε和△x的关系去证明。

延伸解释：
数学问题首先从定义入手，首先连续的概念是函数： 函数f(x)在点  的某个邻域内有定义，如果有  ，则称函数在点  处连续，且称  为函数的的连续点。

而导数的定义是：
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，(x0+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记作①  ；
②  ；③  ， 即

由此我们可以看出 可导一定连续，且可导时左导数一定等于右导数并在此点连续，不连续一定不可导。

如果左导数不等与右导数，两者都存在是只能说明此点不可导，但是一定连续！

Answer 2

函数在点 x0 处连续，则 f(x0）不一定为 0。
例如 y = sinx 在 x = π/2 连续， f(π/2）= 1.