Question

如图，已知AB是是圆O的直径，直线CD与圆O相切于点C，AC平分∠DAB。

（1）求证：AD⊥DC。
（2）若AD=2，AC=√5，求AB的长。

Answer 1

(1)连接OC
∵OC=OA
∴∠CAO=∠OCA
又∵CD与圆O相切
∴∠OCD=90°
即∠OCA+∠DCA=90°
∴∠CAO+∠DCA=90°
又∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠CAO
∴∠DAC+∠DCA=90°
∴∠ADC=90°
即AD⊥DC
(2)连接BC
因为AB为圆O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠ADC=∠ACB=90°
又∵∠DAC=∠CAO
∴△ADC∽△ACB
∴AD/AC=AC/AB
即2/√5=√5/AB
∴AB=5/2

Answer 2

（1）证明：连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC．
∴∠DAC=∠OCA．
∴OC∥AD．
∴AD⊥CD．

（2）解：连接BC，则∠ACB=90°．
∵∠DAC=∠OAC．
∴△ADC∽△ACB．
∴
AD
AC
=

AC
AB
．

∴AB=
AC2
AD
=

(
15)2
3
=5．