Question

∫dx/[（x^2-4x+4）（x^2-4x+5）]

Answer 1

裂项，

方法如下，
请作参考：

Answer 2

解题思路：分式多项式乘积形式，裂项变成和的形式。然后凑常见被积函数形式即可。本题两个多项式正好差1，属于不需要使用裂项系数待定法的最简单的一类。

Answer 3

题目
先化简（x^2-4x+4）/(x^2-2x)÷（x-4/x）,然后从-√5<x<√5的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值。
普通学生思路：
先把代数式化简：
x^2-4x+4：分子因式分解：x^2-4x+4=（x-2）^2；分母因式分解：x^2-2x=x（x-2）；发现有公因式（x-2），约分后分子是x-2，分母是x，即分式为（x-2）/x。
x-4/x：x=x^2/x，所以x-4/x=x^2/x-4/x=（x^2-4）/x，分子因式分解：x^2-4=（x+2）（x-2）,即（x+2）(x-2)/x。
原式=[（x-2）/x]÷[（x+2）(x-2)/x]
图1
有公因式x（x-2）,约分后分子是1，分母是x+2,即分式（化简结果）为1/（x+2）
接下来找合适的整数：
-√5<x<√5的范围内的整数有-2，-1,0，1,2；因为x=-2时，x+2=0,所以-2舍去；因为x=2时，x^2-2x=0，所以2舍去；因为x=0时，x=0,所以0舍去。所选取的值一定要使每个分式都有意义，只有-1和1。
最后把-1和1代入1/（x+2）求值即可。
后进生策略：
无解。
答案：
解：原式=（x-2）^2/[x（x-2）]÷（x^2-4）/x
=（x-2）^2/[x（x-2）]·x/[（x+2）（x-2）]
=1/（x+2）
∵-√5<x<√5，且x为整数
∴要使分式有意义，x只能取-1或1
当x=1时，原式=1/3（或当x=-1时，原式=1）
图2
【刀神传说好看吗】