Question

三角函数最值问题

已知x,y,z为实数，求：f(x,y,z)=[sin(x-y)]^2+[sin(y-z)]^2+[sin(z-x)]^2的最大值。

Answer 1

解：由[sin(x-y)]^2=（1-cos(2x-2y)）/2=1/2-cos(2x-2y)/2
同理得 f(x,y,z)=-(cos(2x-2y)+cos(2y-2z)+cos(2z-2x))/2+3/2
所以当cos(2x-2y)+cos(2y-2z)+cos(2z-2x)=0时 f(x,y,z)有最大值 3/2
因为x,y,z为实数 ，所以cos(2x-2y)+cos(2y-2z)+cos(2z-2x)=0必然可以取到

追问

为什么：cos(2x-2y)+cos(2y-2z)+cos(2z-2x)这个式子的最大值是0呢？

追答

这个式子前面有个负号呀 ，一个负数加上3/2 肯定是小于3/2的呀

追问

但是对于cos(2x-2y)+cos(2y-2z)+cos(2z-2x)这个式子，还没有判断过它的正负性，所以它还有可能是负数呢？

追答

这样是对的 cos(2x-2y)、cos(2y-2z)、cos(2z-2x)都是大于-1小于1
所以cos(2x-2y)+cos(2y-2z)+cos(2z-2x)的范围是 大于-3小于3
所-（cos(2x-2y)+cos(2y-2z)+cos(2z-2x)）得范围是大于-3小于3
最后的结果就是 f(x,y,z)有最大值 是3+3/2=9/2

Answer 2

sin^2(x-y)+sin^2(y-z)+sin^2(z-x)
=[1-cos2(x-y)+1-cos2(y-z)+1-cos2(z-x)]/2
=3/2-[(cos2xcos2y+sin2xsin2y)+(cos2ycos2z+sin2ysin2z)+(cos2zcos2x+sin2zsin2x)]/2
=3/2-[(2cos2xcos2y+2cos2ycos2z+2cos2zcos2x)+(2sin2xsin2y+2sin2ysin2z+2sin2zsin2x)+cos^2(2x)+sin^2(2x)-1+cos^2(2y)+sin^2(2y)-1+cos^2(2z)+sin^2(2z)-1]/4(这步非常关键)
=3/2-[(sin2x+sin2y+sin2z)^2+(cos2x+cos2y+cos2z)^2-3]/4
≤3/2+3/4=9/4
当x=π/3,y=2π/3,z=π时,sin2x+sin2y+sin2z)^2=(cos2x+cos2y+cos2z)^2=0
上式可以取到等号。故最大值是9/4

Answer 3

sin值在-1到1之间
最大值就是3