Question

直线和圆的问题

已知半径为1的定圆圆心为P，且圆心P到定直线L的距离为2，Q是直线L上一个动点，圆Q与圆P外切，圆Q交直线L于M,N两点。
对于任意的直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值，求∠MAN的大小。

Answer 1

这个定点是A(2－√3，0)或A(2＋√3，0)。

解答如下：

设Q(2，t)，则圆Q的方程是：(x－2)²＋(y－t)²=R²，其中R=|OQ|－1=√(4＋t²)－1。令x=2，得y=t±[√(4＋t²)－1]，这个分别是点M、N的纵坐标y1、y2，而点M、N的横坐标都是2。
设存在定点A(m，n)，使得∠MAN为定值。则MA的斜率k1=[n－y1]/[m－2]，NA的斜率k2=[n－y2]/[m－2]，由于∠MAN为定值，则tan∠MAN=|k1－k2|/|1＋k1k2|={[n－y1]/[m－2]－[n－y2]/[m－2]}/{1＋[(n－y1)(n－y2)]/[(m－2)²]}应该是和t无关的常数，如这样的m、n找到，则说明定点A是存在的，反之则不存在。化简下，注意到y1、y2都是可以用t的式子代入的，得：
tan∠MAN={2[m－2][√(4＋t²)－1]}/{(m－2)²＋n²－2tn＋2√(4＋t²)－5}
={2(m－2)√(4＋t²)－2(m－2)}/{2√(4＋t²)＋[(m－2)²＋n²－2tn－5]}。
要使得这个式子最后是和t无关的，则分子和分母对应的t的系数成比例，从而有：
①分母上2tn=0对t恒成立，则n=0；
②2(m－2)：2=[－2(m－2)]：[(m－2)²－5]，解得m=2±√3。
从而A(2±√3，0)。

Answer 2

不是挺简单的吗？首先L肯定是不和圆P相交的，不然不会距离为2
圆Q和圆P外切，假设切点为B
因为圆Q的圆心在直线L上，且和直线L相交于两点M，N，所以MN是圆Q的直径
很容易判定∠MBN无论如何都是90度的，这个是定理
所以，根据要求，平面恒有一定点A，使得∠MAN为定值的话，那么点B就是点A，也就是两个圆相切的切点

追问

这个切点不是定点，它会随着圆Q的变化而变化的。

追答

那就假设圆P和圆Q一样都是半径为1，连线PQ并且延长PQ，然后交圆P于点B，估计点B就是那个顶点A了，要证实出来的话，你根据正弦余弦那些定理去试一下，我太久没有做过数学题了，公式都有点忘记了，估计是那个点

Answer 3

60 60

Answer 4

直线和圆的问题
的标准式为(x-1)^2+(y-1)^2=1，即以（1，1）为圆心，1为半径的圆。

设直线L为mx+ny+p=0，则L过A（a,0）,B(,0,b).把A、B两点代入直线L，解得直线L解析式为bx+ay-ab=0.

（1）
因为直线L与圆相切，故圆心（1，1）到直线L的距离等于圆的半径。则

|a+b-ab|/根号下a^2+b^2=1。

化简上式得ab-2(a+b)+2=0,即（a-2)(b-2)=2

（2）
三角形AOB面积=ab/2.
由（a-2)(b-2)=2得ab/2=(a+b)-1
而(a+b)-1>=2根号下ab-1，当且仅当a=b时=号成立。即当a=b时，ab/2有最小值。

解方程组
a=b............1
ab/2=(a+b)-1...2

得a=b=2+根号下2

所以三角形AOB面积=ab/2=3+根号下2

Answer 5

二楼算错了，这不是60。。是2倍的sin根号下5

Answer 6

直线和圆的问题
但要忘记一个人却要用一生的时间。