Question

如图,在等腰直角三角形ABC中,角A=90度,点P,Q分别是AB,AC上的一动点，且满足BP=AQ,D是BC的中点

如图,在等腰直角三角形ABC中,角A=90度,点P,Q分别是AB,AC上的一动点，且满足BP=AQ,D是BC的中点
1.求证三角形PDQ是等腰直角三角形
2.当P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由
急急急

Answer 1

1、证明：
连结A、D，则：
AD=BD=BC，∠DAC=45º, ∠PDB+∠ADP=90º
∵AD=BD, ∠DAQ=∠DBP, AQ=BP
∴△DAQ∽△DBP
∴DQ=DP, ∠QDA=∠PDB
∴∠QDP=∠QDA+∠ADP=∠PDB+∠ADP=90º
∴△PDQ是等腰直角三角形
2、点P是AB的中点。因为：
四边形APDQ=△PDQ+△QAP
而△PDQ是等腰直角三角形
要使得四边形为正方形则△QAP为等腰直角三角形
则AQ=PA=PB
所以P为AB中点

或
2、点P是AB的中点。证明如下：
假设四边形APDQ是正方形，则 PA=AQ=QD=DP,，∠A=90º
∵BP=AQ
∴BP=PA
即点P是AB的中点

Answer 2

1、证明：
连结A、D，则：
AD=BD=BC，∠DAC=45º, ∠PDB+∠ADP=90º
∵AD=BD, ∠DAQ=∠DBP, AQ=BP
∴△DAQ∽△DBP
∴DQ=DP, ∠QDA=∠PDB
∴∠QDP=∠QDA+∠ADP=∠PDB+∠ADP=90º
∴△PDQ是等腰直角三角形
2、点P是AB的中点。因为：
四边形APDQ=△PDQ+△QAP
而△PDQ是等腰直角三角形
要使得四边形为正方形则△QAP为等腰直角三角形
则AQ=PA=PB
所以P为AB中点

或
2、点P是AB的中点。证明如下：
假设四边形APDQ是正方形，则 PA=AQ=QD=DP,，∠A=90º
∵BP=AQ
∴BP=PA
即点P是AB的中点

Answer 3

1、证明：连接AD
∵∠BAC＝90,D是BC的中点
∴AD＝BD＝CD
∵AB＝AC，AD＝AD，
∴△ABD全等于△ACD
∴∠ADB＝∠ADC＝90
∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAD＝45
∵AQ＝BP
∴△ADQ全等于△DBP
∴DP＝DQ，∠ADQ＝∠BDP
∵∠BDP+∠ADP＝∠ADB＝90
∴∠ADQ+∠ADP＝90
∴∠PDQ＝90
∴等腰直角三角形PDQ
2、当P运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形
证明：
∵P是AB的中点
∴AP＝AB/2,BP＝AB/2
∵AQ＝BP
∴AQ＝AB/2
∴AQ＝AP
∵D是BC的中点
∴PD是三角形ABC的中位线
∴PD＝AC/2
∴DQ＝DP＝AC/2
∵AB＝AC
∴AP＝AQ＝DP＝DQ
∵∠BAC＝∠PDQ＝90
∴正方形APDQ