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已知实数X,Y满足X^2+2Y^2=1,求2X+5Y^2的最大值和最小值
3个回答
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因为X^2+2Y^2=1,所以Y^2=1/2-(1/2X^2)
所以2X+5Y^2=2X+5*[1/2-(1/2X^2)]
化简得:原式=29/10-(X-2/5)^2
因为X^2+2Y^2=1,所以0=<X^2=<1,所以-1=<X=<1
当X=2/5时 ,得最大值29/10
当X=-1时,Y=0,所以原式最小值为-2
所以2X+5Y^2=2X+5*[1/2-(1/2X^2)]
化简得:原式=29/10-(X-2/5)^2
因为X^2+2Y^2=1,所以0=<X^2=<1,所以-1=<X=<1
当X=2/5时 ,得最大值29/10
当X=-1时,Y=0,所以原式最小值为-2
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由题设 y²=1-x² (-1≤x≤1) ①
设 z=2x+5y² ②
把①代入② 得:
z=f(x)=-5x²+2x+5=-5(x-1/5)²+26/5
显然,当x=1/5 (∈[-1,1]) 时,z取得最大值26/5
最小值只能在x=1或者x=-1处达到,
显然f(-1)<f(1),故最小值为f(-1)=-5(-1-1/5)²+26/5=-2
设 z=2x+5y² ②
把①代入② 得:
z=f(x)=-5x²+2x+5=-5(x-1/5)²+26/5
显然,当x=1/5 (∈[-1,1]) 时,z取得最大值26/5
最小值只能在x=1或者x=-1处达到,
显然f(-1)<f(1),故最小值为f(-1)=-5(-1-1/5)²+26/5=-2
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用三角换元,最大值29/10最小值-2
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