Question

如图，已知二次函数y=x∧2+bx+c的顶点M在直线y=-4x上，并且图象经过点A（-1，0） 【1】求这个二次函数的解

如图，已知二次函数y=x∧2+bx+c的顶点M在直线y=-4x上，并且图象经过点A（-1，0）
【1】求这个二次函数的解析式。
【2】设此二次函数与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，求经过M、B、C三点的圆的直径长。
【3】设圆与y轴的另一个交点为N，经过P（-2,0）、N两点的直线为l，圆心是否在直线l上？请说明理由。

Answer 1

y=x∧2+bx+c的顶点M在X=-b/2上，又顶点M在直线y=-4x上，故顶点的坐标为(-b/2,2b)，又图象经过点A（-1，0），将这两点代入函数式可得y=x^2-2x-3
由题可得M点坐标(1,-4),B点坐标(3,0),C点坐标(0，-3)。设经过M、B、C三点的圆心O（m，n）则有OM=OB=OC，解得圆心O（2,-2），半径为根号5，直径为2倍根号5.
圆的方程为(X-2)^2+(Y+2)^2=5，N点坐标为(0，-1)，由P、N点坐标求得直线方程为x+2y+2=0
将圆心O（2,-2）代入直线方程不为零，故圆心不在直线上