Question

证明：可导的偶函数的导数是奇函数？

请问如何证明？？？
谢谢！！！

Answer 1

证明：

设函数f(x)为偶函数，且f(x)可导，g(x)=f'(x)。

那么根据偶函数性质可得，f(-x)=f(x)。

分别对f(-x)=f(x)等式两边求导可得，

f'(-x)(-x)'=f'(x)，

即f'(-x)(-1)=f'(x)，

f'(-x)=-f'(x)，

即g(-x)=-g(x)，那么g(x)为奇函数。

即可导的偶函数f(x)的导数是奇函数。

扩展资料：

1、导数的四则运算法则

（1）(u±v)'=u'±v'

（2）(u*v)'=u'*v+u*v'

（3）(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^2

2、复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。

3、导数的意义

函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

4、奇函数和偶函数性质

（1）两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。

（2）一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

（3）奇函数图象关于原点(0,0)对称。

（4）奇函数图象关于y轴对称。

参考资料来源：百度百科-导数

参考资料来源：百度百科-奇函数

Answer 2

设 f(x) 是偶函数，则 f(-x) = f(x)

又因为可导，所以两边取导数

得 f'(-x) * (-1) = f'(x)

即 f'(-x) = -f'(x)

可见 f'(x) 是奇函数

f(-x) 的导数是利用复合函数的求导法则：

设 y = f(-x) ， 设 u = -x， 则 y = f(u)

则 y对x的导数 = y对u的导数 * u对x的导数= f'(u) * (-1) = f'(-x) = -f'(x)

另外，同理可证： 可导的奇函数的导数是偶函数，可导的偶函数的导数是奇函数。

注：主要是根据奇偶函数的定义，先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，即为非奇非偶，若对称，f(-x)=-f(x)的是奇函数； f(-x)=f(x)的是偶函数 。

扩展资料：

奇偶函数运算法则：

1、两个偶函数相加所得的和为偶函数，两个奇函数相加所得的和为奇函数。

2、一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数，一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。

3、 两个偶函数相乘所得的积为偶函数、两个奇函数相乘所得的积为偶函数。

4、奇函数一定满足f(0)=0（因为F（0）这个表达式表示0在定义域范围内，F(0)就必须为0）所以不一定奇函数有f(0)，但有F（0）时F（0）必须等于0，不一定有f(0)=0，推出奇函数，此时函数不一定为奇函数，例f(x)=x^2。

5、定义在R上的奇函数f（x）必满足f（0）=0；因为定义域在R上，所以在x=0点存在f(0)，要想关于原点对称，在原点又只能取一个y值，只能是f(0)=0。这是一条可以直接用的结论：当x可以取0，f（x）又是奇函数时，f（0）=0）。

6、当且仅当f（x）=0（定义域关于原点对称）时，f（x）既是奇函数又是偶函数。

7、在对称区间上，被积函数为奇函数的定积分为零。

参考资料来源：百度百科-偶函数

参考资料来源：百度百科-奇函数

Answer 3

设 f(x)为可导的偶函数。f(x)=f(-x)
g(x)为f(x)的导函数。

对于任意的自变量位置 x0
g(x0) = lim[f(x0+dx)-f(x0)]/dx
g(-x0) = lim[f(-x0+dx)-f(-x0)]/dx = lim[f(x0-dx)-f(x0))/dx

f(x)可导，其左右导数相等。
即：lim[f(x0+dx)-f(x0)]/dx = lim[f(x0)-f(x0-dx)]/dx
上面这个等式中，左端就是 g(x0)的表达式，而右端即为 -g(-x0)的表达式。

即 g(x0) = - g(-x0)

x0 具备任意性，因此 g(x) = - g(-x)
即在 f(x)是可导偶函数前提下，其导函数是奇函数。求证命题成立。

Answer 4

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