Question

我是线性代数初学者，遇到两个思考题，想知道为什么，请告诉帮忙指教，谢谢！！

1. 在n阶行列式中，把第一列移到最后一列，而其余各列保持原来的次序向左移动，问行列式的值做如何变化？

2. 在n阶行列式中，如果从第二列开始，每列加上前一列，而第1列加上最后一列，问行列式的值作如何变化？

Answer 1

1. 性质: 交换两行(列)行列式变符号
把第1列依次与其右边的列交换, 直到换到最后一列, 效果是其余各列保持原来的次序向左移动
要做n-1次交换, 故原行列式 = (-1)^(n-1)乘新行列式
2. 性质: 某行(列)的k倍加到另一行(列), 行列式的值不变
所以, 你所做的变换, 行列式的值不变.

有疑问请消息我或追问
搞定请采纳 ^_^

追问

第一题，行列式符号会不会改变是否根据n的取之决定？

追答

是的. 若n是奇数, 则需交换n-1偶数次, 行列式不变.
n是偶数则反之

Answer 2

1.值变为原来负值。因为在n阶行列式中任意交换两行或两列，行列式的值变号，原因在行列式的逆序数变了
2.行列式的值不变。因为行列式性质有：把行列式某列（行）的各元素乘以任意的同一个非0数后加到另一列（行）对对应的元素上去，行列式不变。证明交复杂，建议看教材同济第5版11页

Answer 3

第一题，值不变或相反。第二题，值不变。根据定理一，两行（或两列）互换，符号改变。定理二，一行（或列）加上另一行（或列）的常数倍，行列式值不变。另外还有两个定理:一，一行（或列）有公因数k，可以提到行列式外边。二，两行（或列）元素相等，其值为零。