Question

已知P（x y)为圆：x方+y方-6x-4y+12=0上的动点,求y/x的最大值 最小值

Answer 1

(x-3)^2+(y-2)^2=1,这是个半径为1的圆,圆心（3,2）,所以y不能大于3,而x不能小于2,y/x不会大于3/2；y不能小于1,而x不能大于4,y/x不会小于1/4；
x-3=sina,y-2=cosa,y/x=(2+cosa)/(3+sina)
1）a=0,y/x=3/3=1
a=0>>>a=90,cosa=1>>>0,sina=0>>>1,y/x=3/3>>>2/4
2）a=90>>>180,cosa=0>>>-1,sina=1>>>0在此过程中,a=90+b,y/x=(2-sinb)/(3+cosb)
b1>180-d的时候,
y/x=2/4>>>(2-cosd)/(3+sind)=(2-3/√13)/(3+2/√13)
=(2√13-3)(3√13-2)/(9*13-4)=(84-13√13)/113,
此后a=180-d>>>180的时候,y/x开始增加(这个可能还得证明）到1/3
3）a=180>>>270,cosa=-1>>>0,sina=0>>>-1在此过程中,a=180+b,y/x=(2-cosb)/(3-sinb)
很明显上式分子逐渐在增加,而分母在减小,是个增函数
所以a=180>>>270的时候,y/x一直在增加,y/x=1/3>>>2/2=1
4）a=270>>>360,cosa=0>>>1,sina=-1>>>0在此过程中,a=270+b,y/x=(2+sinb)/(3-cosb)
b1>270+(90-d)的时候,y/x=2/2>>>(2+cosd)/(3-sind)=(2+3/√13)/(3-2/√13)
=(2√13+3)(3√13+2)/(9*13-4)=(84+13√13)/113,
此后a=360-d>>>360的时候,y/x开始减小到1
所以y/x的最大值=(84+13√13)/113 最小值=(84-13√13)/113