Question

用换元积分求以下积分

∫<0,ln5>e^x√（e^x-1）/(e^x+3)dx

Answer 1

令a=√(e^x-1)
e^x=a²+1
x=ln(a²+1)
所以dx=2ada/(a²+1)
x=0,a=0
x=ln5,a=2
所以原式=∫<0,2>(a²+1)*a/(a²+4)*2ada/(a²+1)
=∫<0,2>2a²/(a²+4) da
=2∫<0,2>[1-4/(a²+4)] da
=2∫<0,2>da-2∫<0,2>4/(a²+4) da
=2∫<0,2>da-2∫<0,2>1/[(a/2)²+1] da
=2∫<0,2>da-4∫<0,2>1/[(a/2)²+1] d(a/2)
=2a<0,2>-4arctan(a/2)<0,2>
=4-4arctan1

Answer 2

令t=√（e^x-1）,则e^x=t^2+1, e^xdx=2tdt。
原式=∫<0,2>2t^2/(t^2+4)dt，2t^2/(t^2+4)=2-8/(t^2+4)。
∫8dt/(t^2+4)=4arctan(t/2)+C, 故原式=4-π。