Question

Ⅰ） 如图，在△ABC的外接圆中，BD平分∠ABC，DB⊥FB, D、F在△ABC的外接圆上，连接DF交AC于G.

Ⅰ） 如图，在△ABC的外接圆中，BD平分∠ABC，DB⊥FB, D、F在△ABC的外接圆上，连接DF交AC于G.
(1)根据图中已知条件，试写出三个不同类型的正确结论(不再添加辅助线和字母)；
(2) 若DF=9，sin∠DBC=1/3 ，求AC的长.

Answer 1

(1)
BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD。。结论一（角的关系）
DB⊥FB，所以DF是△ABC的直径。。结论二（线段与圆的位置关系）
∠ABD=∠CBD，所以弧AD的长度=弧CD的长度。。结论三（弧长关系）

(2)
△ABC中：AC/sin∠ABC=2R
由结论一与结论二可得：AC/sin(2∠DBC)=DF
又sin∠DBC=1/3，∠DBC为锐角，得cos∠DBC=(1-(1/3)^2)^0.5=2(2^0.5)/3
所以sin(2∠DBC)=2*1/3*2(2^0.5)/3=4(2^0.5)/9
所以AC=9*4(2^0.5)/9=4(2^0.5)（四根号二）