0.9循环=1?
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把0.999999...循环小数转分数转分数，可有两种方法，如下： 1.设x = 0.9 (9上面加一点，代表循环小数) 即x = 0.999999... .....(1) 10x = 9.999999... ....(2) ←把方程(1)的两方同时乘以10。 (2)﹣(1)： 9x = 9 x = 9 / 9 = 1 ∴0.999999... = 1 2.设x = 0.9 (9上面加一点，代表循环小数) 即x = 0.999999... 10x = 9.999999... ←将两方同时乘以10。 10x = 9+0.999999... 10x = 9+x 9x = 9 x = 9 / 9 = 1 ∴0.999999... = 1 究竟0.99999=1? 终于有答案啦!! 回到最原始的题目来看; 0.99.. = 1 的问题
仅讨论数列收敛性. 为了证得 0.99.. = 1
我们考虑到几何级数的问题. 而几何级数的一般项为 n 1-r^n Σr^k = ------- k=0 1 - r . 而此公式来由仅仅靠代数四则运算.(即用不到实数的完备性) 即:为了证得 0.99.. = 1
根据数列收敛的定义; 我们只要确定 r^n -> 0 as n->∞ where -1< r < 1. 现在问题在于如何能确定 r^n -> 0 as n->∞ where -1< r < 1. 根据数列收敛定义而言:给定一个 ε
存在一个 N 使得 n ≧ N => ∣r^n∣ < ε. 换言之;考虑 ∣ r ∣ < ε^(1/n) for all n ≧ N. 我们现在只要能够做到 ε^(1/n) -> 1 as n -> ∞ 即可. 而这个问题等价于 : 给定任意正数 a
a^(1/n) -> 1 as n-> ∞ 不失一般性
令 a > 1. 则 a^n 可写成 1 + h(n).即: a^(1/n) = 1+ h(n). (若 a = 1 自动成立. 若 0 1
故也为显然) 我们想证: h(n) -> 0 as n->∞. 再度利用四则运算得 a = ( 1+h(n) )^n > 1 + n*h(n). 故 (a-1)/n > h(n) > 0. for all n in N. 再度回到 0.999.. = 1 来看. 我们已经把问题简化成 : 只要能确定 1/n -> 0 as n-> ∞. (因:夹挤定理只是数列收敛定义的直接应用的证明
不牵涉实数的完备性) 根据数列收敛定义:给定一个 ε
存在一个 N 使得 n ≧ N => 1/n < ε. 我终究得用阿基米德的性质而宣称 1/n -> 0 as n-> ∞. 为了不牵涉实数的完备性
我决定引用- Peano axioms:正整数没有上界.(因有后继元素) 也就是说;我现在希望我能用Peano axioms去证得 1/n -> 0 as n-> ∞. 现在证明: 利用正整数没有上界之事实证得阿基米德原理. Pf: 给定任两个正实数 s 与 t
(不论 s 多大且不论 t 多小) 则必定存在一个 n
使得 s < nt.( 因若不然;则 N 将会有上界.故矛盾) 于是;我利用了 Peano axioms 证得 阿基米德原理. 再根据阿基米德原理去证得 1/n -> 0 as n->∞. 再由此证得 r^n -> 0 as n->∞
where -1 < r < 1. 再依此证得 0.99..= 1. 所以 0.[ 9 ] = 1 ( 其中 [ ] 内为循环节 ) || 补充资料： || || 0.9 ≠ 1 || 0.99 ≠ 1 || 0.999 ≠ 1 || 0.9999 ≠ 1 || 0.99999 ≠ 1 || 但是 0.9999... 无限个 9 才是 1。
上面的proof和所有回复者的proof都错
原因是他们的proof中没有limit的概念 Two method: Method 1: Limit 0.9循环 = limit n tends to infinity 1 - (0.1)^n = 1 - 0(by the limit law) = 1 Method 2: Geometric Progression (GP) 0.9循环 = 0.9+0.09+0.009+0.0009+...... by the GP sum to infinity 公式: a/(1-r) where a is first term
r is mon ratio. a = 0.9 r = 0.09/0.9 = 0.1 a/(1-r) = 0.9/(1-0.1) = 0.9/0.9 = 1
参考: studying maths in university
yes it is a bit nonsense see below: 1/3 = 0.3333333333333333333333333333 1/3 * 3 = 0.333333333333333333333333333333 * 3 so 1 = 0.999999999999999999999999999 because 0.99999999999999999 is similar to 1 and 1/3 is not only 0.33333333333333333333333333333333 but lots of 3 so it will cause this. like 1/9 = 0.1111111111111111111111111111 1/9 * 9 = 0.1111111111111111111111111111 * 9 so again 1 = 0.999999999999999999999999999 they are special no.s i got the best wer .knowledge.yahoo/question/?qid=7006111404045 check it
参考: me~
不是的！0.9是0.9!! 1是1.....不是的吗？
仅讨论数列收敛性. 为了证得 0.99.. = 1
我们考虑到几何级数的问题. 而几何级数的一般项为 n 1-r^n Σr^k = ------- k=0 1 - r . 而此公式来由仅仅靠代数四则运算.(即用不到实数的完备性) 即:为了证得 0.99.. = 1
根据数列收敛的定义; 我们只要确定 r^n -> 0 as n->∞ where -1< r < 1. 现在问题在于如何能确定 r^n -> 0 as n->∞ where -1< r < 1. 根据数列收敛定义而言:给定一个 ε
存在一个 N 使得 n ≧ N => ∣r^n∣ < ε. 换言之;考虑 ∣ r ∣ < ε^(1/n) for all n ≧ N. 我们现在只要能够做到 ε^(1/n) -> 1 as n -> ∞ 即可. 而这个问题等价于 : 给定任意正数 a
a^(1/n) -> 1 as n-> ∞ 不失一般性
令 a > 1. 则 a^n 可写成 1 + h(n).即: a^(1/n) = 1+ h(n). (若 a = 1 自动成立. 若 0 1
故也为显然) 我们想证: h(n) -> 0 as n->∞. 再度利用四则运算得 a = ( 1+h(n) )^n > 1 + n*h(n). 故 (a-1)/n > h(n) > 0. for all n in N. 再度回到 0.999.. = 1 来看. 我们已经把问题简化成 : 只要能确定 1/n -> 0 as n-> ∞. (因:夹挤定理只是数列收敛定义的直接应用的证明
不牵涉实数的完备性) 根据数列收敛定义:给定一个 ε
存在一个 N 使得 n ≧ N => 1/n < ε. 我终究得用阿基米德的性质而宣称 1/n -> 0 as n-> ∞. 为了不牵涉实数的完备性
我决定引用- Peano axioms:正整数没有上界.(因有后继元素) 也就是说;我现在希望我能用Peano axioms去证得 1/n -> 0 as n-> ∞. 现在证明: 利用正整数没有上界之事实证得阿基米德原理. Pf: 给定任两个正实数 s 与 t
(不论 s 多大且不论 t 多小) 则必定存在一个 n
使得 s < nt.( 因若不然;则 N 将会有上界.故矛盾) 于是;我利用了 Peano axioms 证得 阿基米德原理. 再根据阿基米德原理去证得 1/n -> 0 as n->∞. 再由此证得 r^n -> 0 as n->∞
where -1 < r < 1. 再依此证得 0.99..= 1. 所以 0.[ 9 ] = 1 ( 其中 [ ] 内为循环节 ) || 补充资料： || || 0.9 ≠ 1 || 0.99 ≠ 1 || 0.999 ≠ 1 || 0.9999 ≠ 1 || 0.99999 ≠ 1 || 但是 0.9999... 无限个 9 才是 1。
上面的proof和所有回复者的proof都错
原因是他们的proof中没有limit的概念 Two method: Method 1: Limit 0.9循环 = limit n tends to infinity 1 - (0.1)^n = 1 - 0(by the limit law) = 1 Method 2: Geometric Progression (GP) 0.9循环 = 0.9+0.09+0.009+0.0009+...... by the GP sum to infinity 公式: a/(1-r) where a is first term
r is mon ratio. a = 0.9 r = 0.09/0.9 = 0.1 a/(1-r) = 0.9/(1-0.1) = 0.9/0.9 = 1
参考: studying maths in university
yes it is a bit nonsense see below: 1/3 = 0.3333333333333333333333333333 1/3 * 3 = 0.333333333333333333333333333333 * 3 so 1 = 0.999999999999999999999999999 because 0.99999999999999999 is similar to 1 and 1/3 is not only 0.33333333333333333333333333333333 but lots of 3 so it will cause this. like 1/9 = 0.1111111111111111111111111111 1/9 * 9 = 0.1111111111111111111111111111 * 9 so again 1 = 0.999999999999999999999999999 they are special no.s i got the best wer .knowledge.yahoo/question/?qid=7006111404045 check it
参考: me~
不是的！0.9是0.9!! 1是1.....不是的吗？
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