Question

是否存在这样的正整数n，使得3n 2 +7n-1能整除n 3 +n 2 +n+1？请说明理由．

Answer 1

用反证法，假设存在一个正整数n，使得（3n ² +7n-1），
整除n ³ +n ² +n+1，则（3n ² +7n-1）整除{（n ³ +n ² +n+1）+（3n ² +7n-1）]，
=n（n ² +4n+8）．
∵n与3n ² +7n-1互素，所以（3n ² +7n-1）整除（n ² +4n+8）．
从而，3n ² +7n-1互素，所以，
（3n ² +7n-1）整除（n ² +4n+8）．
从而，3n ² +7n-1≤n ² +4n+8，即2n ² +3n-9≤0，所以，n=1，但n=1并不满足题目的要求，矛盾．
因此，满足题目要求的正整数n不可能存在．