Question

定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，当x属于[-1.1]时，f(x)=x则f(2011)=？

Answer 1

由f(1+x)=f(1-x)和f（x）=-f（-x）推出f（x+2）=f(-x) 推出f（x+4）=f（x）以四为 周期 又当x属于[-1.1]时，f(x)=x 又f(1+x)=f(1-x)，关于x=1对称f（-1）=-1 f（0）=0 f（1）=1 f(2)=0 f(3)=-1
f(3)=-1 f（2011）=f（3+2008）=-1

Answer 2

令t=1+x，即x=t-1
代入f(1+x)=f(1-x)，得f(t)=f(2-t)
y=f(x)是奇函数，f(-t)=-f(t)
所以f(t)=f(2-t)=-f(t-2)
由f(t)=-f(t-2)，类推f(t-2)=-f(t-4)
∴f(t)=f(t-4)
∴y=f(x)的周期为T=4
∴f(2011)=f(-1+4*503)=f(-1)
∵当x属于[-1.1]时，f(x)=x
∴f(2011)=f(-1)=-1

Answer 3

奇函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x) ==> f(x+1) = -f(x-1) ==> f(x+2) = -f(x)
==> f(x+2n) = (-1)^n f(x) , n=1,2,3,……
f(2011) = f(1+2×1005)
= (-1)^1005 f(1)
= -1