Question

设变量x，y满足约束条件 2x－y≤2， x－y≥－1， x＋y≥1．则z＝4x＋6y的最大值和最小值

Answer 1

由2x－y≤2可知 y≥2x-2，

由x－y≥－1可知 y≤x+1，

由x＋y≥1可知 y≥-x+1。

如图建立直角坐标系，做出三条直线：y=2x-2,y=x+1,y=-x+1

根据大于等于在直线上方，小于等于在直线下方的原则，可以得到x y的取值范围如图紫色部分所示。

把z=4x+6y变形为 y=(-2/3)x+(1/6)z

先做直线y=(-2/3)x，y=(-2/3)x+(1/6)z必定与y=(-2/3)x平行，且与y轴的交点的纵坐标为(1/6)z

将y=(-2/3)x向紫色区域进行平移可知，当直线过A点时，(1/6)z去最小值，直线过点B时，(1/6)z取最大值。

A为y=2x-2和y=-x+1的交点，联立可解得A(1,0)

B为y=2x-2和y=x+1的交点，联立可解得B(3,4)

将A(1,0)代入y=(-2/3)x+(1/6)z，得z=4，为最小值

将B(3,4)代入y=(-2/3)x+(1/6)z，得z=36，为最大值