Question

急！让我看看百度的实力！！ 已知点A（1,1）是椭圆X^2/8+Y^2/4=1内一点，直线L过A点且与椭圆交于两点P1，P

问：设P点为线段P1P2的中点，求P点横坐标的取值范围（好好看清，题目，谢谢）

Answer 1

设P1P2：y=k(x-1)-1
带入椭圆方程：x^2 + 2(k^2(x^2 -2x+1)+2k(x-1)+1)=8
(2k^2 +1)x^2 +(4k-4k^2)x+2k^2 -4k-6=0
用韦达定理：(x1+x2)=(4k^2 -4k)/(2k^2 +1)
(x1+x2)/2=(2k^2 -2k)/(2k^2 +1)
=1- (2k+1)/(2k^2 +1)
=1- (2k+1)/((2k+1)^2 /2 -(2k+1)+3/2) 当2k+1=0时，(x1+x2)/2=1，后来发现不是极值
当2k+1不为0时，
=1- 1/( ((2k+1) + 3/(2k+1))/2 -1)
用函数y=x + 1/x 的性质 （即它的值域是 (负无穷, -2]或[2, 正无穷)）
那么(2k+1) + 3/(2k+1)的值域是(负无穷, -2倍根三] 或 [2倍根三, 正无穷)
那么(x1+x2)/2的值域是[(1-根3)/2 , (1+根3)/2]
算的对么？

Answer 2

1、若直线P1P2斜率不存在，此时P点横坐标为x=1；
2、若直线P1P2斜率存在，设其斜率为k，则P1P2：y=k(x－1)＋1，代入椭圆x²/8＋y²/4=1中，得：(1＋2k²)x²－4k(k－1)x＋2(k－1)²－8=0，由于点A(1，1)恒在椭圆内，则此方程恒有两根，设点P的横坐标为x，则x=(x1＋x2)/2=[2(k²－k)]/1＋2k²)=[(2k²＋1)－(2k＋1)]/(2k²＋1)=1－(2k＋1)/[2k²＋1]==设2k＋1为t，则x=1－2t/(t²－2t＋3)=1－2/[t＋(3/t)－2]，考虑到k是一切实数，则t也可以取一切实数，则t＋(3/t)∈(－∞，－2√3]∪[2√3，＋∞)，所以2/[t＋3/t－2]∈[(1－√3)/2，(1＋√3)/2]，则x∈[(3－√3)/2，(3＋√3)/2]。(这里还需要针对t=0和t≠0在讨论下，不过这个最后还是可以合并的)。
综合，点P的横坐标的取值范围是x∈[(3－√3)/2，(3＋√3)/2]。

Answer 3

等效替代法：(理论基础：圆与椭圆的参数方程关系)先作图，再将坐标系内所有点的纵坐标乘以√2，此时椭圆变成了圆：X^2＋Y^2=8，过定点A(1,√2)的直线L：y=k(x－1)＋√2。代入圆方程得：(k^2＋1)x^2－2xk^2＋k^2＋2k√2－6=0，又由韦达定理得x1＋x2＝2k/(k^2＋1)，故P点横坐标为k/(k^2＋1)，化为1/[k＋(1/k)]，对分母用均值不等式，得Xp∈[-1/2,1/2]且Xp不等于0…………真是挑战，手机打字辛苦啊|||

Answer 4

设L ：y=kx-k+1 ,P1（X1，Y1）,P2（X2，Y2）,P(X,Y)
把L代入椭圆方程得x ²／8＋（kx-k+1）²／4＝1
变形有 （1+2k ²) x²－（4k ²－4k）x＋2k ²－4k－6＝0
韦达定理 X1＋X2＝（4k ²－4k）／（1+2k ²)
X=（X1+X2）／2＝（4k ²－4k）／（2+4k ²)
然后求导 应该是这样的吧

Answer 5

过点A（1,1）
的直线方程y=ax-a+1
X^2/8+Y^2/4=1
x²/8+(ax-a+1)²/4=1
x²+2(a²x²+a²+1-2a²x-2a+2ax)=8
(2a²+1)x²-(4a²-4a)x+2(a²-3-2a)=0
x1+x2=(4a²-4a)/(2a²+1)=2-(2+4a)/(a²+1)
P点横坐标=(x1+x2)/2=1-(1+2a)/(a²+1)
暂时只能做到这一步

Answer 6

x^2/8+y^2/4=1
过A(1,1)直线l:y-1=k(x-1)
交椭圆于P1(x1,y1),P2(x2,y2)
x^2+2y^2=8
x^2+2[k(x-1)+1]^2=8
x^2+2k^2(x-1)^2+4k(x-1)+2=8
(1+2k^2)x^2+(-4k^2+4k)x-6+(2k^2-4k)=0
x1+x2=(4k^2-4k)/(1+2k^2)
P(x',y')为P1P2中点,x'=(x1+x2)/2=(2k^2-2k)/(1+2k^2)=1+(-2k-1)/(1+2k^2)
k=tana
(2k+1)/(1+2k^2)=(2tana+1)/[1+2(tana)^2]=(2sinacosa+cosa^2)/[cosa^2+2(sina)^2]
=[sin2a+(1+cos2a)/2]/[1+(1-cos2a)/4]
-1≤sin2a,cos2a≤1
cos2a=-1时,(2k+1)/(1+2k^2)最小=[(1-1)/2]/[1+(2/4)]=0
cos2a=1时,(2k+1)/(1+2k^2)最大=[(1+1)/2]/1=1
x'最小值1-1=0
x'最大值1-0=1
0≤Px≤1