Question

高中数学选修4-5 关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α，β，若|a|+|b|<1,求证|α|<1且|β|＜1

高中数学选修4-5 关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α，β，若|a|+|b|<1,求证|α|<1且|β|＜1 急啊，做不出来了……

Answer 1

α+β= -a，αβ=b，|a|+|b|<1，所以
|α+β|+|αβ|<1
所以|α|-|β|+|αβ|-1<0，|β|-|α|+|αβ|-1<0，
（|α|-1）（|β|+1）<0，（|β|-1)(|α|+1)<0
所以|α|<1且|β|＜1
这是高中数学的特点，想着难，解就容易，常规思路，解起来就难多了。

追问

已经问过老师该题
老师说这方法有缺陷，要用反证法
不过我看不出这种解法有什么缺陷呀……

追答

这种方法没有缺陷，是绝对值不等式的放缩和分解因式的综合应用，特别是对于这样的分解因式应该熟练掌握。当然用反证法也可，我只是考虑了用反证法，但是没有具体想反证法的具体步骤，不过，你不必纠结与此，这样的问题结论可能比结果更重要，你只要掌握这两种证明的方法就可，不必在这个问题究竟怎样证明，或哪种方法更好。这种问题的证明肯定不在高考中出现，主要考察的相关的方法。

|α|-|β|≤|α+β|≤|α|+|β|

Answer 2

由韦达定理：
α+β= -a
αβ=b
由已知可得：a属于（-1，0）U(0,1) b属于（-1，0）U(0,1)
要证|α|<1且|β|＜1
所以：（α-1）（β-1）>0
只要证：αβ-(α+β)+1=b+a+1>0
事实上：
当ab均大于0小于1时：上式定>0
当ab均小于0大于-1时：上式也一定>0
当a,b一个大于0小于1，一个大于-1小于0时：-1<ab<0，所以上式仍大于0
所以原命题得证

Answer 3

因为|a|+|b|<1，所以|a|<1,|b|<1，这时可以用求根公式把α，β表示出来，很容易就证出结论了；
具体细节和操作，你自己写吧