Question

已知函数f(x)=lnx+a/x-2 g(x)=lnx+2x

① 求函数f(x)的单调区间。
② 试问过点（2,5）可以作多少条直线与曲线y=g(x)相切？说明理由。

Answer 1

①f'=1/x-a/x^2=(x-a)/x^2
定义域为x>0.
当a<=0时，f'>0恒成立，函数有单增区间（0，∞）；
当a>0时，f‘=0时x=a
在0<x<a上，f'<0,是函数单减区间；
在x>a上，f'>0是函数单增区间；
② g(2)=ln2+4<lne+4=5,故点(2,5)在g(x)图象上方;
g'=1/x+2>0,g(x)单增；
g''=-1/x^2<0,g(x)图象下凹；
而过点（2,5）的正比例函数y=2.5x斜率大于y=2x。
故应该可以作出2条切线。