Question

设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在（0,1）上可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,求证：

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

一、
1、令F（x）=f(x)-x
则F（1/2)=1/2,F（1）=-1
有零点定理知,F（x）在（1/2 ,1）上有零点,故存在η属于(1/2,1),使f(η)=η
2、原式=f(x)'-1-λ(f(x)-x)=0
令F（x）=( f(x)-x )/e^λx
易知F(0)=0,F(η)=0
所以存在ξ属于(0,η),使得F‘(x)=0
又因为F’(x)=（ f(x)'-1-λ(f(x)-x) ）/e^λx
所以存在ξ属于(0,η),使f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1.
二、
用反证法
若对于任意的x属于(0,1),都有f‘(x)小于等于1
易知f（x）小于等于1,当f‘(x)恒等于1时等号成立,
又因为f(x)是x的非线性函数,所以f‘(x)不恒等于1
所以f(1)小于1,与已知矛盾
所以在(0,1)内至少存在一点ξ,使f'(ξ)＞1