Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3(a属于R） 1，求函数f（x)的单调区间 2，若函数y=f(x)的图像在点（2,f(2))处的切

快啊。。。
线的倾斜角为45°，对任意的t属于[1，2]，函数g(x)=x3+x2[f,(x)+m/2]在区间（t，3）上有最值，求m的取值范围。
3.求证：ln(2^2+1)+ln(3^2+1)+ln(4^2+1)+....+ln(n^2+1)<1+2lnn!(n>=2,n属于正整数）

Answer 1

1、f'(x)=a/x-a,若a=0,则f(x)=-3为常值函数；若a>0,则0<x<1时单调递增，x>1时单调递减；若a<0，则x>1时单调递增，0<x<1时单调递减。
2、f'(2)=a/2-a=tan45°=1 a=-2
g(x)=x^3+x^2(-2lnx+2x-3+m/2) g'(x)=3x^2+2x(-2lnx+2x-3+m/2)+x^2(-2/x+2)=0
9x^2-4xlnx+(m-8)x=0 9x-4lnx+m-8=0 设m(x)=4lnx-9x+8
根据题意，2<x<3，所以m'(x)=4/x-9<0，即m(x)在2<x<3时单调递减，所以m(3)<m<m(2)
4ln3-19<m<4ln2-19
3、2lnn!=2(ln1+ln2+...+lnn)=2ln2+2ln3+...+2lnn=ln2^2+ln3^2+...+lnn^2
左-右=ln[(2^2+1)/2^2]+ln[(3^2+1)/3^2]+...+ln[(n^2+1)/n^2]-1
=ln(1+1/4)+ln(1+1/9)+...+ln(1+1/n^2)-1
设f(x)=ln(1+x)-x (x>0) f'(x)=-x/(1+x)<0 所以f(x)单调递减 f(0)=0 所以f(x)<0 即ln(1+x)<x
因此，原式<1/4+1/9+...+1/n^2-1
<1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/(n*(n+1))-1
=1/2-1/(n+1)-1
=-1/2-1/(n+1)<0
所以左<右