Question

帮忙解几道有关数列数学题，可能有点难，谢谢！！

一.设二次方程a(n)x^2-a(n+1)x+1=0 ,有两根cd,6c-2cd+6d=3 <1>an表示a(n+1) <2>证an-2\3是等比数列 《3》a1=7\6,求an的通项公式 二.an前n项和sn,sn=(1+入）-入an,入不等于-1.0. 《1》证an是等比数列 《2》an的公比Q=f(入），bn满足b1=0.5,bn=f(bn-1),n大于等于2，求bn的通项公式 《3》入=1，cn=an(1\b(n)-1)求an的前n项和 三。求前n项和 《1》1^2 ，-2^2，3^2，-4^2《2》5.55.555 《3》1.2+3.4+5+6.7+8+9+10 <4>1.3a.5a^2.7a^3

Answer 1

1(1) c+d=a(n+1)/a(n) cd=1/a(n)
代人后边式子得 6a(n+1)/a(n)-2/a(n)=3
则6a(n+1)-2=3a(n)
an=2a(n+1)-2/3
(2)an-2/3=2[a(n+1)-2/3]
公比为1/2
(3)an-2/3为等比 公比1/2
an-2/3=[a1-2/3]*(1/2)^(n-1)=(1/2)^n
2
(1)sn-s(n-1)=an=-入an+入a(n-1)
则(1+入)an=入a(n-1)
an/a(n-1)=入/（入+1） 为等比数列
（2）Q=f(入）=入/（入+1）
bn=b(n-1)/[b(n-1)+1]
1/bn=1+ 1/b(n-1)
则1/bn 为等差数列 1/bn=1/b1 + (n-1)*1=n+1 (n>=2)
n=1 时带入仍成立
bn=1/(n+1)
(3)s1=a1=2-a1 a1=1
an/a(n-1)=1/2
an= 1*(1/2)^(n-1)=(0.5)^(n-1)
cn=an(n+1-1)=n*an=n*(0.5)^(n-1)
S=1+2*(1/2)+3*(1/2)^2+.....+n*(1/2)^(n-1)
1/2 S=1/2+2*(1/2)^2+....+n*(1/2)^n
上式-下式=1/2 s=1+1/2+(1/2)^2+....+(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n=1-(1/2)^n-n*(1/2)^n=1-(n+1)*(1/2)^n
s=2-(n+1)*(1/2)^(n-1)
(这个题目应该是求cn前n项和吧)
3
(1)1^2+(-2)^2+...+=1^2+2^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
（2）s=5*[10^0+10^1+...10^(n-1)]=5*(10^n-1)/9
(3）各项项数应该是1 2 3 4 ...n
则总共有n*(n+1)/2 项
S=1+2+3+....+n*(n+1)/2=n*(n+1)*(n^2+n+2)/8
(4)S=1+3a+5a^2+...+(2n-1)a^(n-1)
当a=0时 S=1
当a=1 S=1+3+...+(2n-1)=n^2
当a≠0 1 时 aS=a+3a^2+....+(2n-1)a^n
(1-a）S=1+2a+2a^2+...+2a^(n-1)-(2n-1)a^n
=1+2a[1-a^(n-1)]/[1-a] -(2n-1)a^n
s=1/(1-a ) + 2a[1-a^(n-1)]/[1-a]^2 -(2n-1)a^n/(1-a)
综上所述 略

Answer 2

一.设二次方程a(n)x^2-a(n+1)x+1=0 ,有两根cd,6c-2cd+6d=3 <1>an表示a(n+1) <2>证an-2\3是等比数列 《3》a1=7\6,求an的通项公式
cd=1/an c+d=a(n+1)/an
6c-2cd+6d=3
6[c+d]-2cd=3
6a(n+1)/an-2/an = 3
6a(n+1)-2=3an
an=2a(n+1)-2/3
an-2\3=2[a(n+1)-2/3]
[a(n+1)-2/3]/[an-2\3]=1/2
an-2\3是等比数列 公比1/2 首项a1-2/3=7/6-2/3=2/3
an-2\3=2/3*1/2^（n-1)
an=2/3*1/2^（n-1）+2\3

2\\sn-sn-1=an=-入an-入an-1
an/(an-1)=(入-1)/入=常数 an等比证毕 下面题目好像不详

追问

相当纠结啊，没看懂~~题号给一下呗

追答

an表示a(n+1)
cd=1/an c+d=a(n+1)/an（韦德定理）
6c-2cd+6d=3
6[c+d]-2cd=3
6a(n+1)/an-2/an = 3
6a(n+1)-2=3an
an=2a(n+1)-2/3
证an-2\3是等比数列
an-2\3=2[a(n+1)-2/3]
[a(n+1)-2/3]/[an-2\3]=1/2
an-2\3是等比数列
《3》a1=7\6,求an的通项公式
公比1/2 首项a1-2/3=7/6-2/3=2/3
an-2\3=2/3*1/2^（n-1)
an=2/3*1/2^（n-1）+2\3

2\\sn-sn-1=an=-入an-入an-1
an/(an-1)=(入-1)/入=常数 an等比证毕 下面题目好像不详

Answer 3

一：（1）：c+d=a(n+1)/a(n),cd=1/a(n),带入6c-2cd+6d=6(c+d)-2cd=3得到：6a(n+1)=3a(n)+2
(2)把第一问求出来的关系带入到这个式子中，得(a(n+1)-2/3)/(a(n)-2/3)=1/2，所以是以a1-2/3为首项，以1/2为公比的等比数列。
(3)因为a1=7/6,谷首项为a1-2/3=4/21,an=(4/21)(2/3)(n-1)