Question

一个矩阵的转置矩阵与它自身具有相同的秩

Answer 1

一个矩阵的转置矩阵与它自身具有相同的秩

矩阵的秩定义为它的非零子式的最大阶。注意行列式转置值不变。矩阵的子式在
转置之后成为转置矩阵的子式(原子式的转置。）。它的值不变。所以非零子式
的最大阶也不会变。即矩阵的转置矩阵与它自身具有相同的秩。

什么条件下一个矩阵的转置矩阵与它的逆矩阵相等?

正交阵。

首先当然要是方阵。
这样的矩阵在实的情况下称为正交矩阵，在复的情况下称为U矩阵(Unitary，音译“酉”)。就说实的，要求每个行向量都是单位长的，并且任意两个行向量垂直。换成列向量是等价的。

证明：矩阵A的共轭转置矩阵与A的秩相同

这个可以直接用定义来证明，A^H的行秩和A的列秩相同
也可以用极大非零子式来证明
但是1楼的证明完全错误，从存在一个A满足r(A)=m, r(A^T)=m+1无法推出r((A^T)^T)也有同样性质。

一个矩阵和它的转置相乘后的矩阵的秩等于这个矩阵的秩 怎么证

设A是m×n的矩阵。
可以通过证明 Ax=0 和A'Ax=0 两个n元齐次方程同解证得 rank(A'A)=rank(A)
首先Ax=0 肯定是 A'Ax=0 的解.
其次A'Ax=0
x'A'Ax=0
(Ax)'Ax=0
Ax=0
那么这两个方程同解
同理rank(AA')=rank(A')
此外rank(A)=rank(A')
综上所述rank(A)=rank(A')=rank(AA')=rank(A'A)

如果一个矩阵的转置矩阵是它本身 且该矩阵有逆矩阵 那么它的逆矩阵的转置矩阵也会是其本身么？

对. 可逆的对称矩阵仍是对称矩阵.
A'=A 即A是对称矩阵
知识点: (A^-1)' = (A')^-1
所以 (A^-1)' = (A')^-1 = A^-1.

怎么证明矩阵A与矩阵A的转置矩阵的特征值相同

A^T-入E=(A-入E)^T，A-入E和(A-入E)^T的行列式相同，所以特征值相同。

设矩阵A经过初等行变换之后，化为上三角矩阵B，则A等价于B
矩阵A'经过初等列变换之后，可化为下三角矩阵C，则A'等价于C
显然，B的转置矩阵B'=C
因为，转置之后对角线上的元素不变，所以，B和C的对角线元素相等。
因为，三角形行列式的值等于对角线上元素的乘积
又因为，|λI-A|=|λI-B|=对角线上元素的乘积，
|λI-A'|=|λI-C|=对角线上元素的乘积
所以，|λI-A|=|λI-A'|
所以，矩阵A与矩阵A的转置矩阵的特征值相同

求矩阵 的逆矩阵，转置矩阵，矩阵的秩，矩阵的迹与矩阵行列式的值

求矩阵的转置矩阵、逆矩阵、矩阵的秩、矩阵的行列式值、矩阵的三次幂、矩阵的特征值和特征向量。A=[1 2；3 4]

如何用矩阵的秩的定义证明一个矩阵与其转置矩阵的秩相等。

矩阵A的任一个k阶子式M
A转置后在A^T的位置是行列互换
所以恰对应 M^T

所以A有非零的r阶子式的充要条件是A^T有非零的r阶子式
A的所有r+1阶子式都等于0的充要条件是A^T所有r+1阶子式都等于0
故 r(A) = r(A^T).