Question

已知x>y>0.x的平方+4/y*(x-y)的最小值及取最小值时的x.y的值.

Answer 1

【思路】
变形，利用基本不等式求极值。
【1】
x²=[(x-y)+y] ²=(x-y) ²+2(x-y)y+y²
=(x-y) ²+(x-y)y+(x-y)y+y².
4/[y(x-y)]=[1/y(x-y)]+[1/y(x-y)]+[1/y(x-y)]+[1/y(x-y)].
∴x²+[4/y(x-y)]
=(x-y) ²+(x-y)y+(x-y)y+y²+[1/y(x-y)]+[1/y(x-y)]+[1/y(x-y)]+[1/y(x-y)] ≥8.
等号仅当(x-y) ²=(x-y)y=y²=1/[y(x-y)]时取得。即x=2,y=1时取得。
∴原式的最小值=8.
【2】
八元基本不等式：设a1,a2,……a8＞0.则
a1+a2+…+a8≥8(a1a2…a8)^(1/8).
等号仅当a1=a2=…=a8时取得。