Question

已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x1,x2∈R,且x1≠x2,有f((x1)-f(x2))/α=λ /(1

已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x1,x2∈R,且x1≠x2,有（ f(x1)-f(x2) )/（x1-x2） ＜0
设α=λ /(1+λ) β=1/(λ+1) λ ≠±1 若 If（α）-f（β）I＞If（1）-f（0）I则λ的取值范围为？

字母不好表示的可以自定义字母，但要注明哪个是哪个

Answer 1

（ f(x1)-f(x2) )/（x1-x2） ＜0
说明x1>x2时，f(x1)<f(x2)
故f(x)是减函数
(1) λ=0时，α=0 β=1
If(α)-f(β)I=If(1)-f(0)I与已知矛盾，不成立
(2)λ>0, λ ≠1 时，0<α<1 0<β<1
因f(x)是减函数
所以f(1)<f(α)<f(0) f(1)<f(β)<f(0)
故If(α)-f(β)I<If(1)-f(0)I与已知矛盾，不成立
(3) -1<λ<0, 时，α<0 β>1
若f(x)为偶函数f(α)>f(0) f(β)<f(1) If(α)-f(β)I>If(1)-f(0)I成立
若f(x)为奇函数-f(α)>f(0) f(β)<f(1) If(α)-f(β)I>If(1)-f(0)I成立
(4)λ<-1 时α>1 β<0
同样可证If(α)-f(β)I>If(1)-f(0)I成立
因此λ<0且λ≠-1.

Answer 2

由（ f(x1)-f(x2) )/（x1-x2） ＜0
可知f(x)是减函数,
由α=λ /(1+λ) β=1/(λ+1)
可知α, β分别为数轴上0,1两点的定比分点,
λ=0时α, β分别与点0,1重合,If（α）-f（β）I=If（1）-f（0）|
λ>0时α, β都是点0,1的内分点,λ>0时α, β都是点0,1的内分点,
If（α）-f（β）I<If（1）-f（0）|
λ<0时α, β都是点0,1的外分点,If（α）-f（β）I>If（1）-f（0）|
所以λ<0且λ≠-1.

Answer 3

（ f(x1)-f(x2) )/（x1-x2） ＜0==》x1>x2时，f(x1)<f(x2) ,f(x)是减函数，
α=λ /(1+λ) β=1/(λ+1) ，α -β=（λ-1） /(1+λ)
(1) λ>1时，1>α>β>0, f(1)<f(α）<f(β）<f(0), - f(α)<-f(1)
f(β)-f(α）=f(β)+(-f(α))<f(0)+(-f(1) =f(0)-f(1) ,即 If（α）-f（β）I<If（1）-f（0）I,不合要求；
（2）0<λ<1时，1>β>α>0 ， f(1)<f(β）<f(α）<f(0), - f(β)<-f(1)
f(α）-f(β)=f(α)+(-f(β))<f(0)+(-f(1) =f(0)-f(1) ,即 If（α）-f（β）I<If（1）-f（0）I,不合要求
（3） λ=0时，β=1，α=0 条件化为 f(0)-f(1）>f(0)-f(1) 不成立
（4）-1<λ<0时，β>1>0>α， f(β)<f(1)<f(0))<f(α）, - f(β)>-f(1)
f(α)-f(β)=f(α)+(-f(β))>f(0)+(-f(1) =f(0)-f(1) ,符合要求；
（5）λ<-1时，α>1>0>β， f(α）<f(1)<f(0))<f(β), - f(α)>-f(1)
f(β)-f(α)=f(β)+(-f(α))>f(0)+(-f(1) =f(0)-f(1) ,符合要求； 所以 λ<0